Question

В треугольнике ABC: AB = 6см; AC = 3см; F - это точка на стороне AC, так что AF = 1см; а точка E - середина стороны AB; BC = 2EF. Вычислите угол BAC.

Answer 1

arccos(5/12)

Объяснение:

Пусть EF=x =>  EF²=x²

Тогда ВС=2х => BC²=4x²

Из ΔEAF по т косинусов:   EF²=EА²+FA²-2*EA*FA*cos∡BAC

=>x²=9+1-2*3*1*cos∡BAC=10-6*cos∡BAC       (1)

Из ΔBAC по т косинусов:   BC²=BA²+AC²-2*BA*AC*cos∡BAC

=>4x²=36+9-2*6*3*cos∡BAC   =45-36*cos∡BAC   (2)

Решим систему уравнений (1) и (2):

Домножим обе стороны (1) на 4.  Получим

4*х²=40-24*cos∡BAC   (1')

Вычтем из  (2)   (1')

Получим 5-12*сos∡BAC=0

cos∡BAC=5/12

=> ∡BAC = arccos (5/12)

Answer 2

<A≈65°24′

Объяснение:

как показано на рисунке пусть EF=x, a BC=2x. Рассмотрим ∆АВС и ∆AEF. У них общий угол А, который можно найти используя теорему косинусов:

из ∆AEF:

$\cos( \alpha ) = \frac{ ae { }^{2} + af {}^{2} - ef {}^{2} }{2 \times ae \times af} = \frac{3 {}^{2} + 1 {}^{2} - x {}^{2} }{2 \times 3 \times 1} = \frac{9 + 1 - x {}^{2} }{6} = \frac{10 - x {}^{2} }{6}$

из ∆АВС:

$\cos( \alpha ) = \frac{ab {}^{2} + ac {}^{2} - bc {}^{2} }{2 \times ab \times ac} = \frac{6 {}^{2} + 3 {}^{2} - (2x) {}^{2} }{2 \times 6 \times 3} = \frac{36 + 9 - 4x {}^{2} }{36} = \frac{45 - 4x {}^{2} }{36}$

так как угол А общий и его значение для обоих треугольников равно составим уравнение используя оба варианта:

$\frac{10 - x {}^{2} }{6} = \frac{45 - 4x {}^{2} }{36}$

перемножим числитель и знаменатель соседних дробей между собой крест накрест и получим:

6(45–4х²)=36(10–х²)

270–24х²=360–36х²

–24х²+36х²=360–270

12х²=90

х²=90÷12

х²=7,5

х=√7,5

Итак: EF=√7,5см. Теперь подставим значение х в первое уравнение:

$\cos( \alpha ) = \frac{10 - x {}^{2} }{6} = \frac{10 -( \sqrt{7.5}) {}^{2} }{6} = \frac{10 - 7.5}{6} = \frac{2.5}{6}$

2,5÷6≈0,4167; cos04167≈65°24′