Дам рисунок и подробный ход решения. Вычислений очень много, большую часть вычислила, остальное сделаете самостоятельно.
Задача сводится к нахождению полной поверхности усеченной пирамиды.
Основания правильной усеченной пирамиды - правильные треугольники.
Все боковые грани правильной усеченной пирамиды — это равные равнобокие трапеции.
Полная поверхность усеченной пирамиды равна сумме площадей её оснований и площади её боковой поверхности.
Боковая поверхность правильной усеченной пирамиды равна произведению полусуммы периметров оснований на апофему. Апофема здесь - высота трапеций, образующих боковые грани.
Площади оснований - площади правильных треугольников.
1) Найти сторону оснований.
Сторона каждого основания - это сторона вписанного правильного треугольника в две окружности диаметром 2 и 5 соответственно.
Сторону правильного треугольника а можно вывести из формулы радиуса описанной окружности:
R=(a√3):3,
3R=a√3
а=3R:√3=3R*√3:√3*√3=R*√3
Сторона меньшего треугольника =2√3
2) найти площади оснований усеченной пирамиды.
Меньшая площадь по формуле S=1/4 a²√3
S=1/4* 2²*√3=1/4* 4√3=√3
Сторона большего треугольника =5√3
Cоответственно площадь большего основания усеченной пирамиды равна
S=1/4 5²√3=1/4* 25 √3
Высота So отсеченной части конуса (от вершины S до верхнего основания усеченной пирамиды) находится из подобных треугольников, образованных образующей, высотой конуса и радиусов его основания и сечения
--------------
Найдите апофему, полупериметр оснований трапеций, затем площадь боковой поверхности и сложите с площадью оснований усеченной пирамиды.
И проверьте на всякий случай мои вычисления. Ошибиться в такой задаче немудрено.
Объем конуса находят по формуле: V = 1/3 · Sосн · H, где Sосн - площадь основания, H - высота. В основании - круг, Sосн = πR², где R - радиус основания.
Пусть дан конус (см. рис.) . SО - высота, SВ - образующая, ОВ - радиус. По условию SО : SВ = 4 : 5 и V = 96π см³.
ΔSОВ - прямоугольный. Если принять, что SО = (4х) см, SВ = (5х) см, то по теореме Пифагора ОВ² = SВ² - SО² = (5х)² - (4х)² = 25х² - 16х² = 9х², откуда, учитывая, что длины сторон положительны, ОВ = 3х (см).
Подставляем полученные выражения в формулу объема:
V = 1/3 · πR² · H = 1/3 · π · ОВ² · SО = 1/3 · π · (3х)² · 4х = 12πх³ = 96π, т.е.
12πх³ = 96π,
х³ = 8,
х = 2.
Тогда ОВ = 3 · 2 = 6 (см), SB = 5 · 2 = 10 (см).
Площадь полной поверхности конуса равна:
Sполн = Sосн + Sбок = πR² + πRL = πR(R + L), где R - радиус основания, L - образующая конуса.
Значит, Sполн = π · ОВ · (ОВ + SВ) = π · 6 · (6 + 10) = 6π · 16 = 96π (см²).
ответ: 96 см².