Дано точки А (2; 4; -1), В (-1; 1; 3) і С (5; 1; 2). Знайдіть:1) координати векторів АВ, ВС;
AB = (-1-2; 1-4; 3-(-1)) = (-3; -3; 4).
BC = (5-(-1); 1-1; 2-3) = (6; 0; -1).
2) довжини(модулі) АВ, ВС;
|AB| = √((-3)² (-3)² + 4²) = √(9 + 9 + 16) = √34.
|BC| = √(6² + 0² + (-1) = √(36 + 0 + 1) = √37.
3) АВ+ВС = (-3; -3; 4) + (6; 0; -1) = (3; -3; 3).
АВ-ВС = (-3; -3; 4) - (6; 0; -1) = (-9; -3; 3).
4) 2АВ-½ВС = 2*(-3; -3; 4) – (1/2)* (6; 0; -1) =
= (-6; -6; 8) – (3; 0; (-1/2)) = (-9; -6; 8,5).
5) скалярний добуток векторів АВ і ВС;
АВ * ВС = (-3; -3; 4)* (6; 0; -1) = -18 + 0 – 4 = -22.
6) косинус кута між векторами АВ і ВС
cos(AB_BC) = -22/(√34*√37) = -22/√1258 = -11√1258/629,
7) визначити вид трикутника АВС.
Так как косинус угла В отрицателен, то угол В – тупой.
Треугольник АВС– тупоугольный.
№1) S=0.5ah=0.5×6×5=15 см² ⇒В
№2) АВСД трапеція ⇒ АВ║АК, ∠А=90° і ∠АКС=90° так як СК висот ⇒АВСК - прямокутник ⇒ АК=ВС=3 см. AД=АК+КД=3+5=8 см
площа трапеції дорівнює половині добутку висоті і суми основанії
S=СК×(АД+ВС)÷2=4×(8+3)÷2=22 см²
№3)
ВС=ВН+НС=5+8=13 см⇒ АВ=ВС=13 см так як АВС трикутник рівнобедрений. АН-висота ⇒ ∠АНС=∠АВН=90° ⇒ ΔАВН- прямокутний трикутник, у якого ВН,АН - катети АВ-гіпотенуза⇒ використовуємо теорему Піфагору ⇒ АВ²=ВН²+АН²
АН=√(АВ²-ВН²)=√(13²-5²)=√(169-25)=√144=12 см
площа трикутника дорівнює половині добутку висоти і сторонці, на яку падає дана вистота. S=0.5ah=0.5×AH×HC=0.5×12×8=48 см²
№4) АВСД- рівнобічна трапеція⇒АВ=СД і ∠А=∠Д, ∠ВН=∠СК=90° ⇒ прямокутни трикутники ΔАВН=ΔСКД ⇒ АН=КД. так як АВСД- рівнобічна трапеція ⇒ АД║ВС і ∠ВН=∠СК=90°⇒ ВНСК- прямокутник ⇒ ВС=НК=6 см. НК+АН+КД=АД так як АН=КД ⇒
⇒ АН=(АД-НК)/2=(36-6)/2=15 см. як я сказав ΔАВН прямокутний трикутник, де ВН,АН - катети АВ-гіпотенуза⇒ по теореме Піфагору
АВ²=ВН²+АН² ⇒ ВН=√(АВ²-АН²)=√(25²-15²)=√(625-225)=√400=20 см
площа трапеції дорівнює половині добутку висоті і суми основанії
S=BH×(AD+BC)÷2=20×(36+6)÷2=420 см²