Даны точки А(-1;2), В(2;-1), С(5;3).
Вектор АВ = ((2-(-1)); (-1-2)) = (3; -3), модуль равен √(9+9) = √18 = 3√2.
Вектор АС = ((5-(-1); (3-2)) = (6; 1), модуль равен √(36+1) = √37.
cos a = (3*6 + (-3)*1) / (3√2*√37) = 15/(3√74) ≈ 0,58124.
Угол А = 54,46223°.
Угол В аналогично.
Вектор ВА -3 3 модуль 3√2
Вектор ВС 3 4 модуль 5
cos b = (-3*3 + 3*4) / (3√2*5) = 3/(15√2) ≈ 0,14142.
Угол B = 81,87°.
Площадь треугольника равна половине модуля векторного произведения.
Находим векторное произведение.
i j k| i j
AB 3 -3 0| 3 -3
AC 6 1 0| 6 1 = 0i + 0j + 3 k -0j - 0i + 18k = 21k.
S = (1/2)*21 = 10,5 кв.ед.
Пусть А - начало координат.
Ось X - AB
Ось Y - AD
Ось Z - перпендикулярно ABCD в сторону S
Высота пирамиды ( из треугольника ACS )
√(5^2-25/2) = 5/√2
Координаты точек
P( 1;1;√2)
Q(2;0;0)
R(5;3;0)
S(2,5;2,5;5/√2)
D(0;5;0)
Вектор
SD (-2,5;2,5;-5/√2)
Уравнение плоскости PQR
ax+by+cz+d=0
подставляем координаты точек P Q R
a+b+√2c+d=0
2a+d=0
5a+3b+d=0
Пусть d= 2 Тогда a= -1 b= 1 c=-√2
Уравнение плоскости
-x+y-√2z+2=0
или
-2,5x +2,5y-5z/√2+5=0
нормальное уравнение плоскости
k= √(1+1+2)=2
-x/2+y/2-z/√2+1=0
a) Нормаль к плоскости PQR
-2,5x +2,5y-5z/√2+5=0
cовпадает с вектором
SD (-2,5;2,5;-5/√2)
Перпендикулярны
б) Подставляем координаты точки D(0;5;0) в нормальное уравнение плоскости PQR
-x/2+y/2-z/√2+1=0
для нахождения расстояния
5/2+1 = 3,5