Отрезки МК и NP параллельны соседним сторонам прямоугольника, => соответственно равны им, пересекаются под прямым углом и делят АВСD на 4 прямоугольника, (неважно, равной или разной площади). Обозначим точку пересечения МК и NP буквой О.
а)
Стороны четырехугольника МNKP являются диагоналями получившихся прямоугольников и делят каждый из них пополам (свойство). Поэтому площадь MNKP равна сумме площадей этих половин, т.е. равна половине площади ABCD.
б)
Площадь выпуклого четырехугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними.
Так как S(ABCD)=AB•CD, МК=АD и NP=AB, а sin90°=1, то S(MNKP)=MK•NP•sin90°=0,5•S(ABCD).
в)
S(MNKP)=S∆MNP+S∆NKP=0.5•MO•NP+0.5•KO•NP=0,5•NP•(MO+OK) => S(MNKP)=0,5•NP•MK =>
S(MNKP) =0,5•S(ABCD), т.к. NP=AB и МК=АD
По условию медиана АМ треугольника АВС равна 1/2 стороны ВС.
Тогда АМ=СМ и ∆ АМС - равнобедренный с основанием АС и равными при АС углами.
АМ=ВМ, и ∆ ВМА равнобедренный с основанием АВ и равными при АВ углами.
Обозначим угол АМС - ∠2, угол АМВ - ∠1, углы при основании ∆ АМС - α
при основании ∆ АМВ - β.
∠1 и ∠2 - смежные. Их сумма равна 180°
∠1+∠ 2=180°
В ∆ АМС сумма углов равна 180° , и
∠2=180°-2 α
В ∆ АМВ сумма углов равна 180°, и
∠1=180°-2 β
Составим систему уравнений и сложим их.
| угол 2=180°-2 α
| угол 1=180°-2 β
180°=360°-2{α+β) откуда
2(α+β)=180°
Поэтому α+β=180:2, и∠САВ=α+β=90°. ⇒ ∆ ВАС- прямоугольный.
Объяснение:
S = d1*d2/2
d1 = x, d2 = 6x
507 = x*6x2
1014 = 6x^2
x^2 = 169
x = 13