Домашнее задание Решить задачи: Іуровень 1. Один из углов равнобедренного треугольника равен 100°. Най- дите другие углы. 2. В треугольнике АВС проведена биссектриса AD, причем AD = DC, угол Сравен 20°. Найдите углы треугольников АВС и ADC. 3. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 60 см. Най- дите медиану, проведенную к гипотенузе. 4. В треугольнике высота ВН делит сторону АМ пополам и равна 5 см; периметр треугольника АВН равен 15 см. Найдите периметр треугольника АВС. Пуровень 1. Биссектрисы прямого угла и одного из острых углов треугольника образуют угол 105°. Найдите гипотенузу треугольника, если его меньший катет равен 2 см. 2. В треугольнике АВС проведены биссектриса АК угла ВАС и биссектриса КМ угла АКВ, угол А равен 60°, угол С равен 50°. Найдите углы треугольника ВМК. 3. В треугольнике AB : BC = 2 : 3, BH - высота, ZC = 30°. Найдите АВ + ВС, если ВН = 6 см. 4. Даны две параллельные прямые т и b и секущая к. Биссектриса одного из внутренних углов, образованных прямыми к и т, составляет с прямой т угол в 94°. Найдите все углы, образованные прямыми т и b и секущей к.
Из условия задачи следует, что угол при основании треугольника АВС равен 30 град. Обозначим сторону равнобедренного треугольника через а, основание через b, радиус описанной окружности через R. Половина основания b/2=а*cos(30)=a*sqr(3)/2, b=a*sqr(3) Известно, что: R=a^2/sqr(4a^2-b^2) Подставив значение b, получим: R=a Отсюда: АВ=2 см Во второй задаче центр вписанной окружности совпадает с точкой пересечения биссектрис, поскольку радиусы опущенные из центра в точки М, Т и Р, образуют пары равных прямоугольных треугольников (ВОМ и ВОТ и т.д.). Четырехугольник РОТС является квадратом, так как радиусы проведены в точки касания и перпендикулярны катетам. По условия диагональ этого квадрата равна корень из 8, следовательно сторона будет в корень из двух раз меньше, отсюда: r=sqr(8/2)=2 Угол ТОР=90 град. Угол ТМР является вписанным, он измеряется половиной дуги, на которую опирается. Дуга составляет 90 градусов, так как ограничена точками Р и Т, а угол РСТ прямой. Следовательно угол ТМР=45 град.
Т.к. грани одинаково наклонены к плоскости основания, то высота пирамиды опускается в центр вписанной в трапецию окружности. Свойство описанного четырёхугольника: суммы противолежащих сторон равны, значит сумма оснований трапеции равна сумме боковых сторон, следовательно периметр равен: Р=2(2+4)=12 Площадь боковой поверхности: Sбок=РН/2=12·5/2=30 ед² Радиус окружности, вписанной в равнобокую трапецию: r=, высота трапеции: h=2r==√8=2√2 Площадь трапеции: Sт=h(a+b)/2=6√2 Общая площадь: Sобщ=Sт+Sбок=30+6√2 ответ: a. 30+6
, высота трапеции: h=2r=
=√8=2√2
Половина основания b/2=а*cos(30)=a*sqr(3)/2, b=a*sqr(3)
Известно, что:
R=a^2/sqr(4a^2-b^2)
Подставив значение b, получим: R=a
Отсюда: АВ=2 см
Во второй задаче центр вписанной окружности совпадает с точкой пересечения биссектрис, поскольку радиусы опущенные из центра в точки М, Т и Р, образуют пары равных прямоугольных треугольников (ВОМ и ВОТ и т.д.). Четырехугольник РОТС является квадратом, так как радиусы проведены в точки касания и перпендикулярны катетам. По условия диагональ этого квадрата равна корень из 8, следовательно сторона будет в корень из двух раз меньше, отсюда:
r=sqr(8/2)=2 Угол ТОР=90 град. Угол ТМР является вписанным, он измеряется половиной дуги, на которую опирается. Дуга составляет 90 градусов, так как ограничена точками Р и Т, а угол РСТ прямой. Следовательно угол ТМР=45 град.