Найти сторону основания и апофему правильной треугольной пирамиды, если ее боковое ребро равно 10 см, а боковая поверхность равна 144 см2.
Объяснение:
S(бок)=1/2Р(осн)*d , где d-апофема.
Пусть сторона основания а ,а>0, тогда Р(осн)=3а.
Пусть АН⊥ВС, тогда МН⊥ВС по т. о трех перпендикулярах ⇒СМН-прямоугольный .По т. Пифагора. Выразим апофему МН.
МН=√( СМ²-НС²)==√( 100-а²/4)=0,5√(400-а²).
"Закинем" все в формулу S(бок)=1/2Р(осн)*d :
144=0,5*3а*0,5√(400-а²),
а*√(400-а²)=192 ,возведем обе части в квадрат,
а²*(400-а²)=192² ,
(а²)²-400а+192²=0. Пусть а²=х, тогда
х²-400х+192²=0 , D=12544=112² , х₁=256 , х₂=144.. Значит
а²=256 , а²=144. По условию а>0, значит
а=16 , а=12
Если сторона основания 16 , то апофема 0,5√(400-16²)=6 (см)
Если сторона основания 12 , то апофема 0,5√(400-12²)=8 (см)
В треугольнике HBC <B = 45* из теоремы о сумме углов треугольника. Значит, так как <B = <C, то по признаку равнобедренного треугольника HBC - равнобедренный. Отсюда следует, что HB=HC = 4,8 см
ответ: 4,8 см