Пусть A' – середина дуги BC. Так как OA' || IA2, прямые OI и A'A2 пересекаются в точке K – центре гомотетии описанной и вписанной окружностей (см. рис.). Докажем, что K – искомый радикальный центр.
Первый Так как инверсия с центром A' и радиусом A'B меняет местами прямую BC и описанную окружность Ω треугольника ABC, точка A1 переходит в A, а A2 – в точку A'' пересечения прямой A'A2 с описанной окружностью. Следовательно, точки A, A1, A2 и A'' лежат на одной окружности.
Степень точки K относительно описанной окружности треугольника AA1A2 равна – KA2·KA'' = – r/R AA'·KA'' = r/R s(K), где s(K) – степень точки K относительно Ω.
Очевидно, степени точки K относительно описанных окружностей треугольников BB1B2 и CC1C2 будут такими же, то есть K – радикальный центр трёх окружностей.
Второй Пусть A', B', C' – середины дуг BC, CA, AB. Тогда треугольник A'B'C' переводится в A2B2C2 гомотетией с коэффициентом r/R и центром K, то есть KA2 : A'A2 = KB2 : B'B2 = KC2 : C'C2 = k : 1. Для точек прямой A'A2 разность степеней относительно описанной окружности треугольника AA1A2 и вписанной окружности треугольника ABC является линейной функцией. В точке A2 эта функция равна нулю,
а в точке A' – r², поскольку A'A1·A'A = A'B² = A'I² (первое равенсто следует из подобия треугольников A'A1B и A'BA, а второе – из леммы о трезубце – см. задачу 53119). Значит, в точке K эта разность равна – kr². Другие аналогичные разности в точке K также равны – kr², откуда и следует требуемое
Так, ну, пусть MX = KX = x
Если X между M1 и K1
ΔMM1X: M1X² = MX² - MM1²
M1X = √(x²-25)
ΔKK1X: K1X² = KX² - KK1²
K1X = √(x²-9)
M1X + K1X = 4
√(x²-25) + √(x²-9) = 4
Короче, решив это уравнение, получаем, что x = ±5. Значит, MX = MM1, а это невозможно, т.к. ΔMM1X - прямоугольный
Следовательно, X находится за пределами M1K1 (очевидно, за M1, т.к. MM1 > KK1)
Составим новые уравнения:
ΔMM1X: M1X² = MX² - MM1²
M1X = √(x²-25)
ΔKK1X: K1X² = KX² - KK1²
K1X = √(x²-9)
Получаем: M1X + 4 = K1X
Короче, поверь мне на слово, снова получаем, что x = ±5. То же противоречие, что и см. выше)
В итоге, единственный возможный случай - это если X совпадает с M1:
MM1(X) = 5
KX = 5
⇒ M1K1 √(25-9) = 4 - всё сходится!
Значит, MX = 5 = KX
MX + KX = 10
(Кстати, в тех двух случаях тоже вышло бы 10, просто построение в тех случаях невозможно (либо я что-то не врубаю))