ответ: 1(3) 2 7 4 6 5
Объяснение:
Треугольник АВС равносторонний,так как угол А равен 60 градусов.
Пусть сторона треугольника равна а,тогда:
1) АВ+ВС=2АВ=2а
2) В1В и С1С - высоты,которые равны по формуле (а√3)\2, соответственно В1В+С1С= 2*(а√3)/2= а√3
3) 2ВС=2а
4) ВС1+С1В1+В1С= а/2+а/2+а/2 = (3а)/2
так как ВС1 и С1В1 - высоты, а также медианы,то ВС1=АС1=СВ1=АВ1=а/2
С1В1 - средняя линия,значит она равна половине стороны треугольника,а значит а/2
5) ВС1+В1С= а
6) ВС1+ С1С= (а+а√3)/2
ВС1=а\2, С1С=(а√3)/2
7) ВН+СН= (2а√3)/3
Таким образом,в порядке убывания: 1(3) 2 7 4 6 5
1(3) - так как 1=3
Не смотря на то, что эта задача есть в задачнике Прасолова, номер 18.7, с решением, я решил выложить свое решение. Метод тот же - векторный, но я немного отредактировал и условие и решение - по-моему, так понятнее.
На вложенном чертеже показано, как вводится "базовая" четверка векторов - это две пары взаимно перпендикулярных и равных по величине векторов, то есть
lal = lbl; (или, то же самое, a = b, жирным отмечен вектор, а обычным шрифтом - его модуль);
ab = 0;
lcl =ldl; (c = d)
cd = 0;
На вложенном рисунке показано, как стороны искомой фигуры выражаются через эту четверку векторов. Уже очевидно, что эта фигура - параллелограмм.
Далее, угол между векторами a и d и угол между векторами c и b в сумме составляют 180°, поэтому ad = - cb;
Отсюда q1q4 = (c - a)(d - b)/4 = (-ad - cb)/4 = 0; угол между двумя сторонами - прямой, то есть эта фигура - прямоугольник.
Теперь надо показать, что соседние стороны равны по величине. Легко видеть, что
lq1l^2 = (c - a)^2/4 = (c^2 + a^2 - 2ac)/4;
lq2l^2 = (d - b)^2/4 = (d^2 + b^2 - 2db)/4;
Поскольку пара векторов a и c при повороте на 90° переходит в пару векторов b и d, то углы между этими парами векторов равны, то есть ac = bd,
(именно поэтому эта задача Прасоловым помещена в раздел " повороты на 90° ")
и q1 = q2 (модули!)
Это завершает доказательство того, что искомая фигура - квадрат.
S прямоуг.треуг. = 1/2 * произведение его катетов = 1/2 * 3 * 4 = 6
S меньшего треуг. = 1/2 * S треуг. = 1/2 * 6 = 3
пусть катеты меньшего треуг. x и y
эти треуг.подобны => x : y = 3 : 4
4x = 3y
S меньшего.треуг. = 1/2 * x * y = 3
x*y = 6
x = 6/y
4*6/y = 3y
8 = y^2
y = 2корень(2)
x = 3/корень(2)
гипотенуза = корень(x^2+y^2) = корень(9/2+4*2) = корень((16+9)/2) = 5/корень(2)
P = x+y+гипотенуза = 3/2 * корень(2) + 2корень(2) + 5/2 * корень(2) = 6корень(2)