Question

Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O точки А1 B1 c1 D1 являются серединами отрезков AO,BO,CO,DO соответственно . Докажите что четырехугольник A1 B1 C1 D1 так же является параллелограммом ​

Answer 1

Для доказательства того, что четырехугольник A1 B1 C1 D1 является параллелограммом, мы должны использовать определение параллелограмма. Параллелограмм - это четырехугольник, у которого противоположные стороны параллельны.

Давайте посмотрим, как мы можем применить это определение к нашей задаче.

У нас есть параллелограмм ABCD, и мы знаем, что его диагонали пересекаются в точке O. Также мы знаем, что точки A1, B1, C1, D1 являются серединами отрезков AO, BO, CO, DO соответственно.

Построим отрезки A1B1, B1C1, C1D1 и D1A1. Поскольку точки A1, B1, C1, D1 являются серединами соответствующих отрезков, мы можем утверждать, что эти отрезки равны между собой:

A1B1 = (1/2) * AB
B1C1 = (1/2) * BC
C1D1 = (1/2) * CD
D1A1 = (1/2) * DA

Давайте рассмотрим отрезок A1C1. Если мы сможем доказать, что A1C1 параллелен BD, то это будет означать, что четырехугольник A1B1C1D1 является параллелограммом.

Мы знаем, что A1B1 и C1D1 - это соответствующие стороны пропорциональной фигуры ABCD, значит A1B1 || CD и C1D1 || AB.

Теперь давайте рассмотрим прямоугольный треугольник OBC. Мы можем применить пропорции треугольников для доказательства параллельности:

A1B1/BC = (1/2) * AB/BC (по определению середины отрезка)
C1D1/AB = (1/2) * CD/AB (по определению середины отрезка)

Заметим, что эти два отношения равны (A1B1/BC = C1D1/AB). По свойству пропорциональности, это означает, что A1B1C1D1 || BC.

Аналогично, мы можем доказать, что A1D1 || BC, A1C1 || BD и B1D1 || AB.

Таким образом, мы доказали, что все стороны четырехугольника A1B1C1D1 параллельны. Следовательно, четырехугольник A1B1C1D1 является параллелограммом.

Надеюсь, это решение будет понятно для школьника. Если у него возникают вопросы или трудности с пониманием, пожалуйста, дайте знать, чтобы я мог объяснить более подробно.