Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 625, основание равно 350. Найдите радиус вписанной окружности.
========================================================
Рассмотрим некоторые решения данной задачи:▪Первый Применим общеизвестную формулу: S = р • rгде S - площадь n-угольника , р = ( a₁ + а₂ +...+аₙ )/2 - полупериметр , r - радиус вписанной окружности в n-угольник.p = ( AB + BC + AC )/2 = ( 625 + 625 + 350 )/2 = 800Для нахождения площади ΔАВС пойдём двумя путями:1) Найдём площадь по формуле Герона:S = √( p•( p - a )•( p - b )•( p - c ) )где р = ( а + b + c )/2 - полупериметр треугольника, а,b,c - стороны данного треугольникаS abc = √( ( 800•( 800 - 625 )•( 800 - 625 )•( 800 - 350 ) ) = √( 800•175•175•450 ) = 105 0002) ΔАВС - равнобедренный, ВН ⊥ АС ⇒ АН = НС = АС/2 = 350/2 = 175 - по свойству равнобедренного треугольникаРассмотрим ΔАВН: по т. ПифагораВН² = АВ² - АН² = 6252 - 1752 = ( 625 - 175 )•( 625 + 175 ) = 450 • 800 = 360 000ВН = 600S abc = АС•ВН/2 = 350•600/2 = 105 000r = S / p = 105 000 / 800 = 131,25▪Второй Точка О - центр вписанной окружности. Как известно, центром вписанной окружности является точка пересечения биссектрис ⇒ АО - биссектриса ∠АПрименим свойство биссектрисы угла в тр. АВН ( см. приложение ):Биссектриса угла в треугольнике делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонамВО/ОН = АВ/АН = 625/175 = 25/7Для нахождения ОН = r пойдём двумя путями:1) Пусть ОН = х, тогда ОВ = 600 - х600 - х/х = 25/725х = 4200 - 7х32х = 4200х = 4200/32 = 131,252) Пусть ВО = 25х , ОН = 7х , тогдаВО + ОН = ВН25х + 7х = 60032х = 600х = 600/32 = 18,75Отсюда ОН = 7х = 7•18,75 = 131,25▪Третий ВЕО подобен ΔВНА по двум углам:∠ОВЕ - общий ; ∠ОЕВ = ∠АНВ = 90°Составим отношения сходственных сторон:ОВ/AB = BE/BH ⇒ OB = AB•BE/BH = 625•450/600 = 468,75OH = BH - OB = 600 - 468,75 = 131,25▪Четвёртый Из теоремы об отрезках касательных, проведённых из одной точки, следует ( см. приложение ):АН = АЕ = НС = СК = 175 ; ВК = ВЕ = АВ - АЕ = 625 - 175 = 450Из теоремы о касательной и секущей следует ( см. приложение ):Пусть BP = x, тогдаВЕ² = BP • BH450² = х • 600х = 450² / 600 = 337,5ОН = РН / 2 = ВН - ВР / 2 = 600 - 337,5 / 2 = 262,5 / 2 = 131,25▪Пятый Данный прямоугольный треугольник АВН подобен прямоугольному треугольнику с катетами 24 и 7 и гипотенузой 25 ⇒ tg∠A = 24/7Пусть ∠НАО = α , тогда ∠А = 2αИспользуем тригонометрическую формулу:tg2α = 2tgα/ ( 1 - tg²α )24/7 = 2tgα / ( 1 - tg²α )24 - 24tg²α = 14tgα12tg²α + 7tgα - 12 = 0Пусть tgα = t , тогда12t²+ 7t - 12 = 0D = 7² - 4•12•(-12) = 49 + 576 = 625 = 25²t₁ = ( - 7 - 25 )/24 = - 32/24 = - 4/3 - не подходит, так как ∠А - острыйt₂ = ( - 7 + 25 )/24 = 18/24 = 3/4Отсюда tga = 3/4Рассмотрим ΔАОН:tgα = OH/AH = 3/4OH = AH • 3 / 4 = 175 • 3 / 4 = 525/4 = 131,25ОТВЕТ: 131,25
1) угол A = 180 - 30 - 45 = 105
по т.синусов a/sinA = b/sinB = c/sinC =>
b = a*sinB/sinA = 5/(2*sin105)
c = a*sinC/sinA = 5V2/(2*sin105)
2) по т.косинусов c^2 = a^2+b^2 - 2abcosC = 12*12+6*6-2*6*12*cos60 = 144+36-144/2 = 108
c = 6V3
по т.синусов a/sinA = b/sinB = c/sinC =>
sinA = a*sinC/c = 12*V3/(2*6V3) = 1 => уголA = 90 градусов
sinB = b*sinC/c = 6*V3/(2*6V3) = 1/2 => уголB = 30 градусов (или B = 180-60-90 = 30)
3) по т.синусов a/sinA = b/sinB = c/sinC =>
sinB = b*sinA/a = 5*sin120/12 = 5*cos30/12 = 5*V3/24
sinC = sin(180-120-B) = sin(60-B) = sin(90-30-B) = sin(90-(30+B)) = cos(30+B) =
cos30cosB - sin30sinB = (V3cosB - sinB)/2 = (V3*корень(1-(sinB)^2) - sinB)/2 =...
...= (3V167 - 5V3)/48
по т.косинусов c^2 = a^2+b^2 - 2abcosC = 12*12+5*5-2*5*12*cosC = 144+25-120cosC = 169-120cosC...
4) по т.косинусов c^2 = a^2+b^2 - 2abcosC =>
cosC = (a^2 + b^2 - c^2) / (2ab) = (4 + 9 - 16) / (2*2*3) = -1/4
cosB = (a^2 + c^2 - b^2) / (2ac) = (4 + 16 - 9) / (2*2*4) = 11/16
cosA = (b^2 + c^2 - a^2) / (2bc) = (9 + 16 - 4) / (2*3*4) = 21/24