В треугольнике три стороны. Раздели каждую сторону пополам, середины соедини с противоположной вершиной и получишь три медианы.
В треугольнике три угла. Каждый угол раздели на равные части и получишь три биссектрисы.
В прямоугольном треугольнике катеты являются высотами. Значит к биссектрисе проведёшь перпендикуляр и ещё два катета. Вот тебе и три высоты.
В тупоугольном треугольнике высоты, проведённые из острых углов падают на продолжение боковых сторон.
Все медианы, все биссектрисы и все высоты ( или их продолжения в случае тупоугольного треугольника) пересекаются в одной точке. Это три золотых точки треугольника.
Радиус вписанной окружности правильного треугольника по формуле:
r=(√3/6)*a, где а - сторона треугольника.
r=√3*6√3/6 = 3см.
Тогда площадь вписанного круга равна
S=π*r² или S=9π см².
Можно и так:
Площадь правильного треугольника по формуле:
S= (√3/4)*а² = √3*108/4= 27√3.
Или S=(1/2)*a*h, где h=√(108-27)=9. S=(1/2)*6√3*9=27√3 см².
Эта же площадь треугольника через радиус вписанной окружности равна S=p*r, где р - полупериметр.
Sabc=(3*6√3/2 )*r, отсюда r=2*S/18√3)=3 см.
Sк=π*r² = 9π.
ответ: S = 9π.