Треугольник ABC - равнобедренный. У равнобедренного треугольника углы при основании равны (∠ABC = ∠ACB) и высота (AH), проведённая с вершины (A) на основание (BC) будет делить основание пополам (BH = HC = 2√3)
Рассмотрим прямоугольный треугольник AHC (∠AHC = 90°) и найдем угол ACH с косинуса. Косинус - это отношение прилежащего катета (HC) к гипотенузе (AC), то есть:
cos ∠ACH = 
. Подставим известные данные:
cos ∠ACH = 
. Значит, угол ACH = 30° (косинус 
равен 30°).
Угол ACH - это один из углов основания треугольника, значит второй угол при основании также будет равен 30° (∠ABC = ∠ACB = 30°)
Третий, последний угол BAC найдём из того, что сумма всех углов в треугольнике 180°, значит:
∠BAC = 180° - (30° + 30°) = 180° - 60° = 120°
ответ: ∠A = 120°; ∠B = 30°; ∠C = 30°
AD II BC, поэтому нам нужен угол между BG и BC. Задача свелась к ПЛОСКОЙ. ВСЕ ДАЛЬНЕЙШЕЕ ПРОИСХОДИТ В ПЛОСКОСТИ SBC. (Я не буду пояснять, что высота треугольника SBC SK - это апофема пирамиды, и так далее. Просто ВСЁ ДАЛЬШЕ ПРОИСХОДИТ В ПЛОСКОСТИ SBC, про остальную пирамиду забыли навеки.)
Есть треугольник SBC, ВС = 4, SB = SC = 3*корень(6); Высота SK равна
SK = корень(54 - 4) = 5*корень(2); (ясно, что BK = KC = 2);
Точка G расположена на SC на расстоянии SC/3 от S. Поэтому перпендикуляр из G на ВС равен (2/3)*SK. Пусть его основание M, GM = 10*корень(2)/3, а
ВМ = ВК + КМ = 2 + 2/3 = 8/3; (поясню - KM = KC/3 = 2/3)
как мне кажется, достаточно для решения
tg(угол GBC) = GM/BM = 5*корень(2)/4;
Напомню, что угол GBC и есть угол между BG и AD, поскольку AD II ВС.
Проверьте арифметику, надеюсь, я не ошибся нигде.