Question

Диагональ прямоугольной трапеции перпендикулярна боковой стороне. Найдите отношение оснований трапеции, если ее острый угол равен φ.

Answer 1

Чтобы решить данную задачу, нам потребуется использовать свойства прямоугольной трапеции и тригонометрические соотношения.

Пусть AB и CD - основания прямоугольной трапеции, BC - боковая сторона, а AC - диагональ.
Так как диагональ перпендикулярна боковой стороне, то угол BAC также будет прямым. Обозначим этот угол фи.

Мы знаем следующие соотношения для трапеции:
1) Основания трапеции AB и CD параллельны и равны друг другу.
2) Диагонали трапеции равны между собой.
3) Углы, лежащие на прямой, проведенной через середину основания и точку пересечения диагоналей, равны между собой.

Итак, у нас есть прямоугольная трапеция ABCD, где угол BAC равен фи.

Для решения задачи мы воспользуемся тригонометрией. Введем следующие обозначения:
1) Пусть AC = a, BC = b и AB = c.
2) Пусть углы A и B образуют прямоугольный треугольник ABC.

Теперь мы можем применить тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ABC:
1) tg(φ) = AC / BC = a / b.
2) tg(90° - φ) = BC / AC = b / a.

Следовательно, мы можем записать:
tg(φ) = a / b (1)
tg(90° - φ) = b / a (2)

Для решения задачи нам необходимо найти отношение оснований AB и CD, то есть c / a.

Сначала рассмотрим соотношение (2). Так как tg(90° - φ) = cot(φ), мы можем переписать это соотношение в виде:
cot(φ) = b / a (3)

Теперь разделим соотношение (1) на соотношение (3):
tg(φ) / cot(φ) = a / b / (b / a)
tg(φ) / cot(φ) = a^2 / b^2
tg(φ) * tan(φ) = a^2 / b^2 (4)

Заметим, что tg(φ) * tan(φ) = 1, поскольку tg(φ) * tan(φ) = sin(φ) * cos(φ) / (sin(φ))^2 = (sin(φ) * cos(φ)) / (sin(φ) * sin(φ)) = 1.

Тогда, упрощая соотношение (4), получаем:
1 = a^2 / b^2
a^2 = b^2

Из этого следует, что a = b.

Таким образом, мы доказали, что прямоугольная трапеция с перпендикулярной диагональю и острым углом φ имеет равные основания, то есть отношение оснований равно 1:1 или 1.

Итак, отношение оснований трапеции равно 1:1 или 1.