c = (-8, -9(1/3), 5)
Треугольник равнобедренный
Объяснение:
1)
c = 4a + 1/3b = 4(-2, -2, 1) + 1/3*(0, -4, 3) = (-8, -8, 4) + (0 -4/3, 1) = (-8, -28/3, 5) = (-8, -9(1/3), 5)
Найдём скалярное произведение векторов a и b путём перемножения их координат относительно оси
ab = (-2) * 0 + (-2) * (-4) + 1 * 3 = 0 + 8 + 3 = 11
теперь найдём длины векторов используя формулу:
теперь найдём косинус угла между векторами
2)
Найдём длины отрезков через расстояния между точкам:
Если расстояния равны, то треугольник равносторонний, если 2 расстояния равны, то равнобедренный, если же расстояния не равны, но выполняется теорема пифагора, то треугольник прямоугольный.
Как видно: длины AB и CA совпадают, следовательно, треугольник равнобедренный
Расстояние от прямой DC до плоскости α - это перпендикуляр из любой точки этой прямой на плоскость α.
Итак, в прямоугольном треугольнике АЕD катет АЕ равен по Пифагору
АЕ=√(AD²-DE²)=√(36²-18²)=18√3.
Угол между двумя пересекающимися плоскостями равен углу между прямыми, по которым они пересекаются с любой плоскостью, перпендикулярной их линии пересечения. То есть угол между плоскостью α и плоскостью квадрата - это угол EAD, cинус которого равен отношению противолежащего катета к гипотенузе: Sinβ=ED/AD=18/36=1/2. Значит угол между плоскостями равен 30°.
Площадь проекции квадрата на плоскость α - это площадь прямоугольника AEFB, равная S=AB*AE=36*18√3=648√3см²