Если a) | a | = 5, | b | = 3, <(a, b) = 60 °, сумма векторов a и b; б) Если | a | = √2, | b | = 8, <(a, b) = 45 °, найти длину вектора, равную разности векторов b-a.
Пусть это будут касательные АВ и АС, а центр окружности - О. Соответственно точки В и С - точки касания, а поэтому [ОС] перпендикулярен [АС], [ОВ] перпендикулярен [АВ]. Тогда рассмотрим ∆и АОС и АОВ. Они прямоугольные и у них равны катеты ОС и ОВ как радиусы одной и той же окружности. К тому же, у них общая гипотенуза. Получаем, что ∆ АОС = ∆ АОВ по катету и гипотенуза, а значит, остальные элементы этих ∆ов тоже равны, то есть |АВ| = |АС|, а это отрезки касательных, проведенных к данной окружности, ч.т.д.
Описана окружность - окружность, в которую можно вписать многоугольник так, чтобы все его вершины лежали на окружности. Центром описанной окружности является точка пересечения серединных перпендикуляров. Для доказательства нужно провести окружность, построить внутри треугольник так, чтобы все его вершины лежали на этой окружности, затем построить серединные перпендикуляры к сторонам, отметить точку их пересечения. А затем нужно провести из вершин все трёх углов отрезки к точке пересечения этих серединных перпендикуляров. Они будут равны, так как каждый из треугольников, боковыми сторонами которого являются эти отрезки, будут равнобедренными, т.к. любая точка, лежащая на серединном перпендикуляре к отрезку, равноудалена от сторон данного отрезка.
Cумма векторов
a)
|a| = 5, |b| = 3, <(a, b) = 60 °
c² = a² + b² + 2ab cos 60°
c² = 5² + 3² + 2 · 5 · 3 · 0.5
c² = 49
|c| = 7
b)
|a| = √2, |b| = 8, <(a, b) = 45 °
c² = a² + b² + 2ab cos 45°
c² = √2² + 8² + 2 · √2 · 8 · 0.5 √2
c² = 82
|c| ≈ 9.06
Разность векторов
a)
|a| = 5, |b| = 3, <(a, b) = 60 °
c² = a² + b² - 2ab cos 60°
c² = 5² + 3² - 2 · 5 · 3 · 0.5
c² = 19
|c| ≈ 4,36
b)
|a| = √2, |b| = 8, <(a, b) = 45 °
c² = a² + b² - 2ab cos 45°
c² = √2² + 8² - 2 · √2 · 8 · 0.5 √2
c² = 50
|c| ≈ 7.07