Трапеция ABCD; AD II BC; AD = a; BC = b; К - середина AD; M - точка пересечения AC и BK; N - то же для CK и BD; Первое, что надо понять - MN II AD; В самом деле, ABCK - трапеция, поэтому точка M делит её диагонали в отношении CM/AM = BC/AK = 2b/a; Аналогично BN/ND = BC/KD = 2b/a; пропорции одинаковые, поэтому MN II AD; Поскольку треугольники MNC и AKC подобны, все, что нужно - найти CM/AC; ясно, что MN/AK = CM/AC; Пусть AM = x; CM = y; из подобия треугольников BCM и AKM x/(a/2) = y/b; x = ya/2b; => x + y = y(1 + a/2b); y/(x + y) = 1/(1 + a/2b); => MN = AK/(1 + a/2b) = (a/2)/(1 + a/2b) = ab/(2b + a); вроде так :(
Радиус вписанной окружности правильного треугольника r = , где а - сторона соответствующего треугольника Отношение радиусов (т.е. если поделить формулы друг на друга) исходя из этой формулы равно отношению сторон треугольников, т. е. а1/а2
Отношение сторон можно найти исходя из площадей. Формула площади правильного треугольника S = Если поделить формулы площади двух треугольников друг на друга, то получим, что после сокращения останется Значит, отношение площадей равно квадрату отношения сторон. Отношение площадей равно 16/9. Значит, извлекая корень из 16/9, получим соотношение сторон треугольников, равное 4/3. А как мы уже выше выяснили, отношение сторон равно отношению радиусов, то есть 4 к 3 (4:3 или 4/3). - если записать через отношение большего треугольника к меньшему. А если через отношение меньшего к большему, тогда 3 к 4 (3:4 или 3/4).
, где а - сторона соответствующего треугольника
Первое, что надо понять - MN II AD; В самом деле, ABCK - трапеция, поэтому точка M делит её диагонали в отношении CM/AM = BC/AK = 2b/a;
Аналогично BN/ND = BC/KD = 2b/a; пропорции одинаковые, поэтому MN II AD;
Поскольку треугольники MNC и AKC подобны, все, что нужно - найти CM/AC; ясно, что MN/AK = CM/AC;
Пусть AM = x; CM = y; из подобия треугольников BCM и AKM
x/(a/2) = y/b; x = ya/2b; => x + y = y(1 + a/2b); y/(x + y) = 1/(1 + a/2b);
=> MN = AK/(1 + a/2b) = (a/2)/(1 + a/2b) = ab/(2b + a); вроде так :(