АВС - равнобедренный тр-ник, АВ=ВС=40 см, ВМ=4√91 см, АР и СК - биссектрисы. Найти КР. Тр-ки АРС и АКС равны, так как ∠АСК=∠САР, ∠КАС=∠РСА, сторона АС - общая, значит АК= РС, значит КР║АС, значит треугольники АВС и КВР подобны. В прямоугольном тр-ке АВМ АМ²=АВ²-ВМ²=40²-(4√91)²=144, АМ=12 см, АС=2АМ=24 см. Коэффициент подобия тр-ков АВС и КВР равен: k=АВ/КВ. По теореме биссектрис в тр-ке АВС с биссектрисой СК: ВС/АС=КВ/АК ⇒ КВ=ВС·АК/АС. АК=АВ-КВ, значит КВ=ВС(АВ-КВ)/АС. КВ=40(40-КВ)/24, 24КВ=1600-40КВ, 64КВ=1600, КВ=25 см, Подставим это значение в формулу коэффициента подобия: k=АВ/КВ=40/25=1.6 Исходя из подобия тр-ков АВС и КВР КР=АС/k=24/1.6=15 см - это ответ.
А К В
Р Н
Д М С
S АВСД=36
найти S РКНМ.
пусть АВ=х, ВС=y
тогда АК=КВ=х/2
ВН=НС=y/2
S треугольников АКР, КВН, НСМ, РДМ равны, т.к. треугольники равны.
S одного такого треугольника=х/2*y/2 :2=хy/8
S четырех таких треугольников=(хy/8)*4=хy/2
Т.к. S АВСД=хy=36, S четырех треугольников=36/2=18
S РКНМ=36-18=18