Трапеция АВСД, АД||ВС, <ВАМ=<ДАМ, АВ=5, АМ=4. Продолжим АМ до пересечения со стороной ВС, точка их пересечения Е. Полученный ΔАВЕ: углы при основании <ВАЕ=<ВЕА (<ДАЕ=<ВЕА как накрест лежащие при пересечении параллельных прямых АД и ВС секущей АЕ), значит ΔАВЕ - равнобедренный (АВ=ВЕ=5). ΔАМД и ΔЕМС равны по трем углам (накрест лежащие углы<ДАМ=<СЕМ и <АДМ=<ЕСМ, вертикальные углы <ЕМС=<АМД), значит АМ=МЕ=4. Следовательно в ΔАВЕ ВМ является медианой, проведенной к основанию АЕ, а значит и биссектрисой, и высотой. ВМ²= АВ²-АМ²=25-16=9 ВМ=3
Еще проще есть решение, практически устное и в 2 действия. Под боковой стороной я понимаю те две стороны, которые выходят из той же вершины, что и высота, и медиана. Основание - это третья сторона треугольника. 1) В треугольнике, ограниченном меньшей боковой стороной и медианой, высота является биссектрисой, поэтому это равнобедренный треугольник. Поэтому отрезок между высотой и медианой равен половине половины основания :) 2) в прямоугольном треугольнике, образованном высотой, большей боковой стороной и частью основания, медиана исходного треугольника тоже является биссектрисой. И, как показано в пункте 1), она делит катет этого прямоугольного треугольника на отрезки в отношении 1/2, считая от вершины прямого угла. То есть по свойству биссектрисы высота относится к большей боковой стороне, как 1/2; То есть получился прямоугольный треугольник с углом в 30°; 3) само собой, отсюда получается, что угол исходного треугольника, из которого выходят высота и медиана, равен 90°, а третий угол 60°. Уф... написать всё это намного сложнее, чем сообразить :)
Продолжим АМ до пересечения со стороной ВС, точка их пересечения Е.
Полученный ΔАВЕ: углы при основании <ВАЕ=<ВЕА (<ДАЕ=<ВЕА как накрест лежащие при пересечении параллельных прямых АД и ВС секущей АЕ), значит ΔАВЕ - равнобедренный (АВ=ВЕ=5).
ΔАМД и ΔЕМС равны по трем углам (накрест лежащие углы<ДАМ=<СЕМ и <АДМ=<ЕСМ, вертикальные углы <ЕМС=<АМД), значит АМ=МЕ=4.
Следовательно в ΔАВЕ ВМ является медианой, проведенной к основанию АЕ, а значит и биссектрисой, и высотой.
ВМ²= АВ²-АМ²=25-16=9
ВМ=3