Пусть H - середина АС. Тогда ВH - медиана и высота правильного треугольника АВС. SH - медиана и высота равнобедренного треугольника SAC. ВH⊥АС, SH⊥AC, ⇒ ∠SHB = 60° - линейный угол двугранного угла наклона боковой грани к основанию.
Проведем ОК⊥SH. АС⊥SHB (ВH⊥АС, SH⊥AC), значит ОК⊥АС, ⇒ ОК⊥SAC, т.е. ОК = 2√3.
ΔОКН: sin 60° = OK / OH OH = OK / sin 60° = 2√3 / (√3/2) = 4
ΔSOH: tg 60° = SO / OH SO = OH · tg 60° = 4√3
ΔABC: OH = a√3/6 как радиус вписанной в правильный треугольник окружности, а = 6ОН / √3 = 24 / √3 = 8√3 V = 1/3 · Sосн · SO V = 1/3 · (a²√3/4) · 4√3 V = 1/3 · 64 · 3 · √3/4 · 4√3 = 64 · 3 = 192
1) Пусть х - радиус цилиндра. тогда S/2=х(х+2). => Х²+2Х-48=0. Х=-1±√(1+48). х=6 (второй корень не удовлетворяет условию). ответ: R=6см, h=8см.
2) Сторону квадрата найдем по Пифагору: 2а²=36см², а=3√2. Значит R= 3√2/2см. Площадь боковой поверхности цилиндра: Sб=a²=18см² Площадь основания цилиндра: So=πR² = 4,5π. Площадь полной поверхности S=2*So+sб = 9π+18 =9(π+2)см² ответ: S=9(π+2)см².
3) Осевое сечение конуса - равнобедренный треугольник. Плоскость делит его на два подобных треугольника с коэффициентом подобия k=1/2. Тогда радиус сечения найдем по Пифагору: r=√[(17/2)²-(15/2)²] =4см. Площадь полученного сечения S=πR² = 16π. ответ: S=16π.
4) Трапеция равнобокая, значит периметр равен 5х+5х+5х+12х=54см. Отсюда х=2см и тогда основания трапеции равны 10см и 24см. Тогда длины окружностей равны L1=2πr = 2π*5 =10π L2=2πR = 2π*12 = 24π. Высота трапеции из тупого угла на основание делит его на две части, меньшая из которых равна полуразности оснований, то есть =7см. Тогда по Пифагору высота h=√(10²-7²)=√51. ответ: L1=10π см, L2=24π см, h=√51 см.
Тогда ВH - медиана и высота правильного треугольника АВС.
SH - медиана и высота равнобедренного треугольника SAC.
ВH⊥АС, SH⊥AC, ⇒ ∠SHB = 60° - линейный угол двугранного угла наклона боковой грани к основанию.
Проведем ОК⊥SH.
АС⊥SHB (ВH⊥АС, SH⊥AC), значит ОК⊥АС, ⇒
ОК⊥SAC, т.е. ОК = 2√3.
ΔОКН: sin 60° = OK / OH
OH = OK / sin 60° = 2√3 / (√3/2) = 4
ΔSOH: tg 60° = SO / OH
SO = OH · tg 60° = 4√3
ΔABC: OH = a√3/6 как радиус вписанной в правильный треугольник окружности,
а = 6ОН / √3 = 24 / √3 = 8√3
V = 1/3 · Sосн · SO
V = 1/3 · (a²√3/4) · 4√3
V = 1/3 · 64 · 3 · √3/4 · 4√3 = 64 · 3 = 192