А1 Если точка лежит в плоскости YOZ, то x=0;
ответ: а) A(0; 1; 1).
A2 Координаты середины отрезка равны полусумме координат концов отрезка:
x(М) = (x(A) + x(В))/2; ⇒ x(B)=2· x(M) - x(A);
x(B) = 2 · (- 2) - 1 = - 5
y(B) = 2 · 4 - 3 = 5
z(B) = 2 · 5 - (- 2) = 12
ответ: a) B(- 5; 5; 12).
A3 B(6; 3; 6) C(- 2; 5; 2)
Если АМ медиана, то M - середина ВС.
x(M) = (6 - 2)/2 = 2; y(M) = (3 + 5)/2 = 4; z(M) = (6 + 2)/2 = 4
M(2; 4; 4); A(1; 2; 3)
AM² = (2 - 1)² + (4 - 2)² + (4 - 3)² = 1 + 4 + 1 = 6;
AM = √6
ответ: а) √6
А4 Скалярное произведение равно сумме произведений соответствующих координат:
↑a · ↑b = 1 · (- 1) + (- 1) · 1 + 2 · 1 = - 1 - 1 + 2 = 0
ответ: б) 0.
А5 При симметрии относительно оси Ох меняют знак координаты у и z:
А(0; 1; 2) → A₁ (0; - 1; - 2),
B(3; - 1; 4) → B₁ (3; 1; - 4),
C(- 1; 0; - 2) → C₁ (- 1; 0; 2).
B1 Неполное условие. Должно быть так:
Диагональ осевого сечения цилиндра равна √81 см, а радиус основания – 3 см. Найти высоту цилиндра.
Осевое сечение цилиндра - прямоугольник, одна сторона которого (АВ) равна диаметру основания, а другая - образующая (она же высота).
Из прямоугольного треугольника АВВ₁ по теореме Пифагора:
ВВ₁ = √(АВ₁² - АВ²) = √(81 - 36) = √45 = 3√5 см
ответ: 3√5 см
B2 ΔSOA прямоугольный,
R = OA = SA · cos30° = 8 · cos30° = 8 √3/2 = 4√3 см
h = SO = SA · sin30° = 8 · 1/2 = 4 см
Sasb = 1/2 AB · SO = 1/2 · 2R · h = R · h = 4√3 · 4 = 16√3 см²
С1 Если призма вписана в шар, то ее основания вписаны в равные круги - параллельные сечения шара, а центр шара - точка О - лежит на середине отрезка КК₁, соединяющего центры этих кругов.
Отрезок, соединяющий центр шара с центром сечения, перпендикулярен сечению. ОК перпендикулярен плоскости АВС. Тогда КК₁ - высота призмы.
ОА - радиус шара, ОА = 4 см,
КА - радиус сечения, или радиус окружности, описанной около правильного треугольника АВС (призма правильная), тогда
КА = а√3/3, где а - ребро осноавния,
КА = 6√3/3 = 2√3 см
Из прямоугольного треугольника АОК по теореме Пифагора:
ОК = √(ОА² - КА²) = √(4² - (2√3)²) = √(16 - 12) = √4 = 2 см
КК₁ = 2ОК = 4 см
ответ: 4 см
каждый человек, вступая в жизнь, открывает для себя великое слово - родина. но в начале пути у каждого из нас есть своя, малая родина, тот уголок, где он родился. у одного его родина известна на всю страну, весь мир. например, москва, санкт-петербург, париж, лондон. а у другого – родина
тихая, незаметная, но любимая и неповторимая. к таким тихим, милым уголкам россии относится и наш небольшой город рассказово.
«здесь родины моей
начало»,- так говорит большинство рассказовцев о нашем городе. одни - потому, что здесь родились и провели всю свою жизнь, другие – потому что уезжали и вернулись, не смогли быть вдали, а третьи – приехали в детстве, после учебы и «прикипели» к рассказовской земле.
да, именно здесь родины моей начало.…здесь мои истоки, здесь хранятся самые лучшие и теплые воспоминания. здесь я воспитываюсь, расту, получаю первые уроки жизни. это то, что воспитывает во мне человека. это любовь моя, надежда моя, жизнь моя - уютный уголок
россии!
природа нашего края необычайно хороша! весной город утопает в яблоневом и вишнёвом цвете, а летом в зелени.
люблю, как яркие листья, кружась, медленно опускаются на землю, расстилаются под ногами как ковёр. а зимой не оторвать взгляд от чистейшего снега, который под лучами солнца переливается, как россыпь бриллиантов. трудно оставаться равнодушным, глядя на бескрайние поля, широкие дубравы,
небольшие, но необычно красивые речки, пруды, светлые кудрявые березки - а это все так часто встречается на рассказовской земле.
у нас есть места, которые восхищают немало людей своей особенностью, неповторимостью и
индивидуальностью. так, недалеко от города лежит интересное озеро клюквенное. названо оно так потому, что сравнительно недавно на его берегах росла клюква, и теперь еще можно изредка ее здесь встретить. озеро окружают сосновые леса. болгарская валентина вербева, предки которой родились на
тамбовщине, писала: «у вас такая природа, как на картинах шишкина»
одно из самых мистических и уникальных мест нашего города - бездушный куст. уже из названия видно, что здесь никто и никогда не селился. место обросло . по одной из них здесь
останавливался мифологический герой - атаман кудеяр, персонаж чем-то схожий с робин гудом. по легенде он вставал на сторону крестьян, защищал их от нападок помещиков, грабил богачей и раздавал их добро беднякам.
город прекрасен не только своими пейзажами, но и архитектурными сооружениями. каждое утро я в окно золотые купола церкви иоанна богослова, которые вселяют в меня надежду и веру.
в рассказове находилось поместье
полторацких, которые близко общались с александром пушкиным. так, одна из первых возлюбленных поэта елизавета бакунина впоследствии вышла замуж за представителя рода полторацких. родственницей полторацких была и анна керн.
Решение:
1) Рассмотри основание. Это квадрат АВСD, т.е АВ=ВС=СD=АD
В нем диагональ АС= 2V2 см.
В этом квадрате рассмотри треугольник АВС. Угол В=90 град., АВ=ВС, значит по теореме Пифагора:
АС^2 = AB^2 + BC^2 = 2AB^2 =>
AB^2 = AC^2 / 2 = (2V2)^2 / 2 = 4 см^2 =>
AB = V4 = 2 см - сторона квадрата основания
2) Точка S равноудалена от каждой стороны квадрата. Это значит, что расстояния AS=BS=CS=DS и проекция точки S на основание АВСD будет находиться в центре квадрата АВСD в точке О.
3) Теперь рассмотри треугольник АОS.
Угол АОS= 90 град.
OS = 3 см
АО = 1/2 AC = 1/2*(2V2) = V2 см
По теореме Пифагора:
AS=AO^2 + OS^2 = (V2)^2 + 3^2 = 2+9=11 см.
4) Расстояние от точки S до стороны АВ измеряется перпендикуляром SK, проведенным из точки S к стороне АВ. Точка К лежит на АВ и
АК=КВ=AB/2=2/2=1 cм
Для этого рассмотри еще один треугольник - ASB. В нем:
SA=SB= 11 см
АВ =2 см =>
SA^2 = AK^2 + SK^2 =>
SK^2 = SA^2 - AK^2 = 11^1 - 1^2 = 121-1=120
SK=V120=2V30 см