Сторона АС треугольника АВС лежит в плоскости α. МϵАВ, NϵBC, MN||α, причём BM:AM=2:7, MN=6 см. Сделать чертёж. Найти АС. A) 18 см; B) 30 см; C) 27 см; D) 36 см.
Решение: Так как по условию треугольник ΔABC - равносторонний, то все его стороны равны, то есть AB = BC = AC, следовательно
CM = MA = AK = BK = BN = CN. По свойствам равностороннего треугольника (ΔABC) все его углы равны 60°, тогда ∠ACB = ∠CAB =
= ∠CBA = 60°. Треугольник ΔMAK = ΔBKN по первому признаку равенства треугольников, так как MA = KA = KB = BN и ∠CAB = ∠CBA = 60°. Так как по условию M,N - середины сторон CA,CB, то отрезок MN - средняя линия, тогда по теореме средняя линия параллельна стороне с которой не имеет общих точек, то есть MN║AB. Так как по условию K,N - середины сторон AB,CB, то отрезок KN - средняя линия, тогда по теореме средняя линия параллельна стороне с которой не имеет общих точек, то есть KN║AC. По теореме AMNK - параллелограмм, так как MN║AB и KN║AC, следовательно по свойствам параллелограмма его противоположные стороны равны, тогда MN = AK, MA = KN. Треугольник ΔMAK = ΔMKN по третьему признаку равенства треугольников, так как MK - общая, а MN = KA, AM = KN - как противоположные стороны параллелограмма AMNK. Так как треугольник ΔMAK = ΔMKN и треугольник ΔMAK = ΔBKN, то
ΔMAK = ΔMKN = ΔBKN. Так как треугольники равны, то их соответствующие элементы равны, то есть так как , то
квадратных единиц.
квадратных единиц.
2.
Если в комнате можно разместить все ковры, то сумма площадей ковров должна быть меньше или равна площади комнаты.
15 м² ∨ 4 м² + 5 м² + 7 м²
15 м² ∨ 16 м²
15 м² < 16 м²
Так как площадь, ковров больше площади комнаты, то ковры перекроются.
AB = BN, значит ΔABN равнобедренный, углы при основании равны: ∠BAN = ∠BNA = (180° - 30°)/2 = 75°
∠NAD = 90° - ∠BAN = 90° - 75° = 15°
2. ∠BAF = ∠DAF так как AF - биссектриса, ∠DAF = ∠BFA как накрест лежащие при пересечении AD║BC секущей AF, ⇒ ∠BAF = ∠BFA, треугольник BAF равнобедренный, АВ = BF = 2 см
∠CFE = ∠AFB как вертикальные ∠CEF = ∠BAF как накрест лежащие при пересечении AB║CD секущей АЕ, ∠AFB = ∠BAF как доказано выше, ⇒ ∠CFE = ∠CEF, ⇒ треугольник CFE равнобедренный, CF = CE = 3 см
АВ = 2 см ВС = 2 + 3 = 5 см Pabcd = (AB + BC)·2 = (2 + 5)·2 = 14 см
3. В треугольнике АВЕ АВ = 5 см, АЕ = 3 см, ВЕ = 4 см, значит это прямоугольный (египетский) треугольник, значит ВЕ - высота трапеции. ЕВСК - прямоугольник (ВЕ = СК как высоты трапеции, ВЕ║СК как перпендикуляры к одной прямой), ⇒ ЕК = ВС = 6 см.
ВС = 6 см AD = 3 + 6 + 1 = 10 см
Sabcd = (AD + BC)/2 · BE = (10 + 6)/2 · 4 = 32 см²
Объяснение:
1.
Примечание:
Рисунок отличается от рисунка в условии. Следует понимать, что .
Дано: ΔABC - равносторонний, CM = MA,AK = BK, BN = CN,
Найти: - ?
Решение: Так как по условию треугольник ΔABC - равносторонний, то все его стороны равны, то есть AB = BC = AC, следовательно
CM = MA = AK = BK = BN = CN. По свойствам равностороннего треугольника (ΔABC) все его углы равны 60°, тогда ∠ACB = ∠CAB =
= ∠CBA = 60°. Треугольник ΔMAK = ΔBKN по первому признаку равенства треугольников, так как MA = KA = KB = BN и ∠CAB = ∠CBA = 60°. Так как по условию M,N - середины сторон CA,CB, то отрезок MN - средняя линия, тогда по теореме средняя линия параллельна стороне с которой не имеет общих точек, то есть MN║AB. Так как по условию K,N - середины сторон AB,CB, то отрезок KN - средняя линия, тогда по теореме средняя линия параллельна стороне с которой не имеет общих точек, то есть KN║AC. По теореме AMNK - параллелограмм, так как MN║AB и KN║AC, следовательно по свойствам параллелограмма его противоположные стороны равны, тогда MN = AK, MA = KN. Треугольник ΔMAK = ΔMKN по третьему признаку равенства треугольников, так как MK - общая, а MN = KA, AM = KN - как противоположные стороны параллелограмма AMNK. Так как треугольник ΔMAK = ΔMKN и треугольник ΔMAK = ΔBKN, то
ΔMAK = ΔMKN = ΔBKN. Так как треугольники равны, то их соответствующие элементы равны, то есть так как , то
квадратных единиц.
квадратных единиц.
2.
Если в комнате можно разместить все ковры, то сумма площадей ковров должна быть меньше или равна площади комнаты.
15 м² ∨ 4 м² + 5 м² + 7 м²
15 м² ∨ 16 м²
15 м² < 16 м²
Так как площадь, ковров больше площади комнаты, то ковры перекроются.