Известно, что правильный шестиугольник состоит из 6-ти правильных треугольников (сторона треугольника а равна радиусу R окружности, описанной вокруг шестиугольника).
Точка К, из которой будет виден отрезок МN под наибольшим углом, будет находиться на общей окружности с точками М и N. При этом OK для неё является касательной. По свойству касательной и секущей ОК²=ОМ·ОN. Пусть ОМ=х, тогда ОN=OM+MN=x+6, 4²=x(х+6), х²+6х-4=0, х1=-8, отрицательное значение не подходит, х2=2. ON=2+6=8 дм - это ответ.
Теперь докажем, что отрезок MN виден из точки К под большим углом. Пусть радиус окружности около тр-ка КMN равен r. На стороне ОК в любом месте возьмём точку Р и опишем окружность около тр-ка РMN, радиусом R. ОР для неё является секущей, а для окружности, радиусом r - касательной, значит R>r. Формула хорды: l=2R·sin(x/2), где х - градусная мера хорды. ∠MKN=α, ∠MPN=β. Обратим внимание, что углы α и β - это половина градусной меры хорды. MN=2R·sinβ ⇒ sinβ=MN/2R. MN=2r·sinα ⇒ sinα=MN/2r. Сравним синусы, предположив, что они равны. MN/2R=MN/2r. 1/R=1/r, но R>r, значит 1/R<1/r, значит sinβ<sinα. Так как градусная мера хорды не может быть больше 180°, значит в формуле хорды 0°<α<90°, 0°<β<90°. В этом диапазоне синус угла тем больше, чем больше его градусная мера, значит α>β. Доказано.
S = 24√3 cм² ≈ 41,6 см²
Объяснение:
Известно, что правильный шестиугольник состоит из 6-ти правильных треугольников (сторона треугольника а равна радиусу R окружности, описанной вокруг шестиугольника).
а = R = 4см.
Высота h правильного треугольника равна
h = a· sin 60° = 0.5a√3 = 0.5 · 4 · √3 = 2√3 (см)
Площадь одного треугольника равна
S тр = 0,5 · а · h = 0.5 · 4 · 2√3 = 4√3 (см²)
Площадь шестиугольника равна
S = 6 · S тр = 6 · 4√3 = 24√3 (cм²) ≈ 41,6 см²