Трапеция АВСД. АВ=СД=ВС, уголА=уголД. проводим высоты ВН=СК на АД, точка О пересечение ВН и АС. ВО=15, НО=12,
Треугольник АВС равнобедренный АВ=ВС, угол ВАС=уголВСА , угол САД=уголАСВ как внутренние разносторонние, диагональ АС - биссектриса угла А
АВ =а, ВО/НО=АВ/АН (свойства биссектрисы), 15/12 = а /АН
АН = 4/5 х а
треугольник АВН. ВН = корень (АВ в кввадрате - АН в квадрате) =
=корень (а в квадрате - 16/25 х а в квадрате) =3/5 х а
ВН=ВО+НО=15+12=27 = 3/5 х а, а = 27 х 5 /3=45 = ВС=СД
треугольники АВН=треугольнику КСД, по гипотенузе и острому углу, АН=КД = 4/5 х 45 = 36, НК=ВС=45, АД=36+45+36=117
Площадь = (АД+ВС)/2 х ВН = (117+45)/2 х 27 = 2187
Половина стороны равностороннего треугольника со стороной 10 корней из 3 равна 5 корней из 3. Высота этого треугольника (она же и высота пирамиды - расстояние от вершины пирамиды до площади ее основания) равна 15.
Осталось найти площадь основания. Известно, что угол между сторонами основания равен 60 градусам (как внутренний угол равностороннего треугольника). Найдем вторую сторону, образующую этот угол. Для этого нужно разбить длину стороны, равную 10 корней из 3, на два отезка в отношении 3:1. Сделать это несложно: 2,5 корней из 3 и 7,5 корней из 3.
Площадь треугольника, лежащего в основании пирамиды, равна 1/2 * 2,5 корней из 3 * 5 корней из 3 (точка Р - середина АМ) * sin60 = 28 1/8 корней из 3.
Тогда объем пирамиды будет равен:
1/3 *15*28 1/8 корней из 3 = 140 5/8 корней из 3.