Question

Нужно) высота прямой треугольной призмы равна 5 м, ее объем - 24м3. площади боковых граней относятся как 17: 17: 16. найдите стороны основания.

Answer 1

Обозначим высоту призмы через h

$AA_1=BB_1=CC_1=h$

Стороны ΔABC  в основании обозначим:

AB = a, BC = b, AC = c

Тогда для площадей боковых граней можем записать:

$S_{AA_1C_1C}=ch\\S_{AA_1B_1B}=ah\\S_{BB_1C_1C}=bh$

По условию:

$ch:ah:bh=17:17:16\longrightarrow c:a:b=17:17:16$

Т.е. получено соотношение для сторон треугольника и все стороны можем выразить через x:

$c=17x\\b=17x\\a=16x$

Зная объем призмы и ее высоту, можем найти площадь основания:

$V=S_{ABC}*h\\S_{ABC}=\frac{V}{h}=\frac{24}{5}$

Запишем формулу Герона для площади треугольника ABC:

$p=\frac{a+b+c}{2}=\frac{17x+17x+16x}{2}=25x\\S_{ABC}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\sqrt{25x*8x*8x*9x}=5*8*3*x^2=120x^2$

Подставим найденное нами значение для площади основания:

$120x^2=\frac{24}{5}\\x^2=\frac{1}{25}\\x=\frac{1}{5}$

Подставим x в выражения для сторон треугольника:

$c=17x=\frac{17}{5}=3\frac{2}{5}=3,4\\b=17x=\frac{17}{5}=3\frac{2}{5}=3,4\\a=16x=\frac{16}{5}=3\frac{1}{5}=3,2$

ответ: Стороны основания равны 3,4 м, 3,4 м и 3,2 м