Question

из прямоугольника случайным образом выбирается точка найдите вероятность того что точка принадлежит треугольнику, вершинами которого служат две соседние вершины прямоугольника и точка пересечения его диагоналей
​

Answer 1

Чтобы решить эту задачу, нам нужно определить вероятность того, что случайно выбранная точка будет принадлежать треугольнику, вершинами которого служат две соседние вершины прямоугольника и точка пересечения его диагоналей.

1. Изначально, нужно понять, сколько всего возможных точек на прямоугольнике может быть выбрано. Возьмем прямоугольник со сторонами a и b. В данном случае, легко понять, что число возможных точек будет равно произведению длин сторон прямоугольника: a * b.

2. Теперь нужно определить, сколько возможных точек принадлежат треугольнику, вершинами которого служат две соседние вершины прямоугольника и точка пересечения его диагоналей. Для этого нужно понять, как выглядит данный треугольник.

Представим наш прямоугольник и проведем его диагонали, которые пересекаются в точке O:

```
A______________B
| |
| O |
| |
|______________|
C
```

Вершинами треугольника являются точки O, A и B. Теперь давайте проведем параллельные линии через точки A и B, соприкасающиеся с противоположными сторонами прямоугольника:

```
______nnnnnnnnn______
| |
| |
| O B |
|________mmmmmmm____|
```

Треугольник, образованный точкой O и двумя точками, обозначенными n и m, является треугольником, вершинами которого служат две соседние вершины прямоугольника и точка пересечения его диагоналей.

3. Как определить количество точек на многоугольнике? Количество точек находится при помощи формулы, известной как формула Пика:

Количество точек на треугольнике можно выразить, используя формулу:

Количество точек = Количество точек на границе - Количество точек внутри

Вершины треугольника (точки A, O и B) являются точками на его границе.

Точка O является точкой внутри треугольника.

Точки n и m находятся на границе треугольника, так как они лежат на линиях, параллельных сторонам прямоугольника и касаются его границы.

Количество точек на треугольнике = 3 (вершины A, O и B) - 1 (точка O внутри треугольника) = 2.

4. Теперь, когда у нас есть количество точек на треугольнике и общее количество возможных точек на прямоугольнике, мы можем вычислить вероятность.

Вероятность = (Количество точек на треугольнике) / (Общее количество возможных точек)

Вероятность = 2 / (a * b)

Таким образом, вероятность того, что случайно выбранная точка будет принадлежать треугольнику, вершинами которого служат две соседние вершины прямоугольника и точка пересечения его диагоналей, равна 2 / (a * b).