а) Прямые называются скрещивающимися, если одна из прямых лежит в плоскости, а другая эту плоскость пересекает в точке не принадлежащей первой прямой.
Прямая СА1 лежит в плоскости АСС1А1, прямая С1D1 эту плоскость пересекает в точке С1, не принадлежащей первой прямой; по определению СА1 и С1D1 – скрещивающиеся.
Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между двумя прямыми, параллельными им и проходящими через произвольную точку (определение).
Все углы правильного шестиугольника равны 120°, все его стороны равны.
∆ А1В1С1 - равнобедренный, углы В1А1С1=В1С1А1=(180°-120°):2=30°. – угол D1C1А1=120°-30°=90°, угол СС1D1 прямой ( в правильной призме боковые грани - прямоугольники). ⇒
С1D1 перпендикулярна плоскости, в которой лежит прямая СА1.
Противоположные стороны правильного шестиугольника параллельны. F1A1║С1D1 и по свойству параллельных прямых также перпендикулярна плоскости АСС1А1, а, значит, перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через А1. ⇒
Прямые F1A1║D1C1, следовательно, D1C1 перпендикулярна СА1.
б) Данное сечение проходит через стороны DC и и A1F1 оснований призмы.
Проведём продолжения прямых FE и СD – они пересекутся в точке K. Тогда K принадлежит плоскости сечения и плоскости FF1E1E. Прямая F1K пересечет ребро ЕЕ1 в точке Н.
Продолжим прямые DС и АВ до их пересечения в точке М. Эта точка принадлежит плоскости сечения и плоскости АА1В1В. Проведя прямую А1М, получим точку её пересечения с ребром ВВ1 в точке Р. Шестиугольник А1F1HDCP – сечение, площадь которого нужно найти.
S А1F1HDCP =S (А1F1DС)+S ∆A1РС+S ∆F1HD
∆ A1РС=∆F1HD
В трапеции КFAM углы F и А=120°, следовательно, углы при К и М=180°-120*=60°, ∠ВCМ =∠ЕDК и равны 60° как смежные углам при вершинах основания ⇒ ∆ СВМ равносторонний, СМ=СВ=5.
В прямоугольном ∆ АА1М т. В - середина катета, АВ=ВМ,
отрезок ВР || АА1⇒ ВР - средняя линия ∆ АА1М, а точка Р – середина гипотенузы А1М треугольника А1СМ. ⇒
СР медиана ∆ А1СМ, из чего следует S ∆A1CP= 0,5 S ∆ A1CM, а сумма площадей двух равных треугольников по бокам от прямоугольника DF1A1C равна полной площади ∆ А1СМ.
2S ∆А1СP=А1С•CM:2=14•5=70:2=35
S A1F1DC=A1C•CD= 14•5=70
Sсечения =35+70=105 (ед. площади)
--------------------------------
Как вариант можно применить теорему о площади ортогональной проекции плоской фигуры на плоскость. Площадь проекции равна произведению площади самого сечения на косинус угла между плоскостью сечения и плоскостью его проекции, откуда S сечения равно S(ABCDEF):cosA1CA
Так как угол при вершине равен 60 и пирамида правильная, ребром является правильный треугольник. Высота которого равна 12.
Высота в правильном треугольнике является медианой,высотой и биссектрисой. Следовательно можно разделить треугольник на две равные части (два прямоугольных треугольника) Тогда один угол выйдет 30*, второй 60* и третий 90*
Так как катет лежащий против угла 30* равен половине гипотенузы, пусть гипотенуза 2x, а катет против угла 30* = x.
Тогда по теореме Пифагора получим:
Так как пирамида правильна, ее основание - квадрат.
Теперь осталось найти высоту.
Из прямоугольного треугольника гипотенузой которого служит апофема, а один из катетов высота, и зная что угол между проекцией апофемы на основание и самой апофемой равен 60, значит трейтий угол 30, катет лежащий против угла 30* равен половине гипотенузы, т.е. половина 12, = 6
По теореме Пифагора: