MN II AB как средняя линия в треугольнике ABC; ML II CD как средняя линия BCD; KL II AB как средняя линия ABD; KN II CD как средняя линия ACD; Поэтому противоположные стороны четырехугольника KLMN параллельны, то есть это параллелограмм. По условию его диагонали KM и LN перпендикулярны, то есть это - ромб, все его стороны равны. Так же по условию KN = LN, то есть треугольник KNL равносторонний. Следовательно ∠NKL = 60°; Так как стороны этого угла параллельны сторонам искомого угла (то есть KL II AB; KN II CD), то прямые AB и CD тоже образуют угол 60°.
Пусть у меньшей окружности радиус R и расстояние от вершины угла до центра D; а у большой k*R и k*D; - ясно, что эти расстояния пропорциональны. k нужно найти из отношения площадей. Условие, что окружности касаются, означает, что k*D - D = R + k*R; то есть R/D = (k* - 1)/(k + 1); легко видеть, что R/D это синус половины угла, который надо найти, так как центры окружности лежат на биссектрисе. Что касается величины к, то её нетрудно подобрать, k^2 = 97 + 56√3; Легко видеть, что k^2 = 49 + 2*7*4√3 + 48 = (7 + 4√3)^2; то есть k = 7 + 4√3; технически задача уже решена. sin(α/2) = (7 + 4√3 - 1)/(7 + 4√3 +1) = √3/2; все преобразования сделайте сами. То есть α/2 = 60°; α = 120°;
ML II CD как средняя линия BCD;
KL II AB как средняя линия ABD;
KN II CD как средняя линия ACD;
Поэтому противоположные стороны четырехугольника KLMN параллельны, то есть это параллелограмм.
По условию его диагонали KM и LN перпендикулярны, то есть это - ромб, все его стороны равны.
Так же по условию KN = LN, то есть треугольник KNL равносторонний.
Следовательно ∠NKL = 60°;
Так как стороны этого угла параллельны сторонам искомого угла (то есть KL II AB; KN II CD), то прямые AB и CD тоже образуют угол 60°.