1. Возможно, этот угол опирается на диаметр, потому как в противном случае есть контрпример. Продлим одну из сторон угла назад до пересечения с окружностью. Данный угол внешний для треугольника, у которого один из углов 90 градусов, а второй не равняется нулю. Значит, угол больше 90 градусов, но меньше 180 градусов. Значит, данный угол - тупой по определению.
2. В треугольнике АДВ медиана ДF равна половине гипотенузы АВ. Аналогично ДЕ равно половине АС. А ЕF - средняя линия треугольника АВС, параллельная ВС, а значит и равная её половине. Отсюда периметр искомого треугольника равен полупериметру периметра АВС на основании того, что стороны треугольников можно разделить на пары, в каждой из которых сторона треугольника АВС будет вдвое больше стороны треугольника DEF.
ответ: 64/2=32 см.
3. Известно, что биссектрисы соседних углов параллелограмма пересекаются под прямым углом.
По теореме Пифагора ВС=10 см.
Угол АВМ=СВМ=АМВ, т.к. углы накрест лежащие при параллельных прямых. Значит, АМ=АВ=СД.
Аналогично СД=МД. Значит, АВ=ВС/2, АВСД=2*ВС+2*ВС/2=3*ВС=30 см.
ответ: 30 см.
4. Диаметр АВ равен 2кор(2), хорда ВС - 2кор(2)/3. Проведём АС. По теореме Пифагора:
АС^2=8-8/9;
AC^2=64/9;
AC=8/3.
Центр окружности О, ОМ - искомое расстояние. Т.к. угол АСВ опирается на диаметр, то он равен 90 градусов. Расстояние до прямой есть перпендикуляр до этой прямой. Значит, ОМ параллельно АС, а АО=ОВ, а отсюда следует, что ОМ - средняя линия треугольника АВС. Значит, ОМ= АС/2=4/3.
ответ: 4/3.
Я продлеваю перпендикуляры HK и HM за точку H до пересечения с BA в точке A1 и BC в точке C1 (ну, точки лежат на продолжениях... из за того, что ∠ABC острый, эти точки есть и лежат где положено :) )
Для треугольника A1BC1 H - точка пересечения высот (ну двух-то точно :) - A1M и C1K), поэтому A1C1 перпендикулярно BH, и, следовательно, параллельно AC;
то есть ∠BAC = ∠BA1C;
Точки K и M лежат на окружности, построенной на A1C1, как на диаметре, поэтому
∠BA1C + ∠KMC = 180°; как противоположные углы вписанного четырехугольника. Или, что же самое, ∠BA1C = ∠BMK;
следовательно ∠BAC = ∠BMK;
и треугольники ABC и BMK имеют равные углы. То есть, подобны.
Следствие, которое важнее задачи :) Четырехугольник AKMC - вписанный. То есть через эти 4 точки можно провести окружность.
Дополнение. Тривиальный решения тут такой.
∠KHB = ∠A; ∠MHB = ∠C;
BK = BH*sin(A) = BC*sin(C)*sin(A);
BM = BH*sin(C) = BA*sin(A)*sin(C);
То есть у треугольников ABC и MBK угол B общий, и стороны общего угла пропорциональны BM/BA = BK/BC = sin(A)*sin(B); значит треугольники подобны.
коэффициент подобия sin(A)*sin(C), что тоже полезное следствие.