Расстоянием от точки до прямой называет длина перпендикуляра, проведённого из этой точки на прямую. Поэтому надо найти длину перпендикуляра. Пусть длина перпендикуляра равна x, тогда длина наклонной равна y. Составим систему уравнений, учитывая, что x + y = 17, а y - x = 1
x + y = 17 2y = 18 y = 9
y - x = 1 y - x = 1 x = 8
Длина перпендикуляра равна 8, поэтому и искомое расстояние тоже равно 8.
1. В плоскости ASC проведем прямую ОН║SA.
BHD - искомое сечение, так как оно проходит через диагональ основания BD и параллельно боковому ребру SA.
Пирамида правильная, значит в основании квадрат.
ΔASC равнобедренный (SA = SC так как пирамида правильная), с углом 60° при основании, ⇒ равносторонний.
SA = SC = AC = a√2.
О - середина АС, ОН║SA, значит ОН - средняя линия ΔASC, т.е. Н - середина SC.
ОН - медиана прямоугольного треугольника SOC, проведенная к гипотенузе, значит
ОН = 1/2 SC = a√2/2
ОС⊥BD по свойству диагоналей квадрата, проекция НО на плоскость основания лежит на прямой ОС, ⇒ НО⊥BD по теореме о трех перпендикулярах.
Значит ОН - высота сечения.
Sсеч = 1/2 · BD · OH = 1/2 · a√2 · a√2/2 = a²/2
2. Пирамида правильная, значит основания - правильные треугольники.
Пусть Н и Н₁ - середины ребер АС и А₁С₁ соответственно. Тогда ВН и В₁Н₁ - медианы и высоты оснований.
Проекция НН₁ на плоскость нижнего основания лежит на прямой ВН, значит НН₁⊥АС по теореме о трех перпендикулярах.
Тогда ∠Н₁НВ = 60° - угол наклона боковой грани к основанию.
НН₁О₁О - прямоугольная трапеция.
ОН = 8√3/6 = 4√3/3 см как радиус окружности, вписанной в ΔАВС,
О₁Н₁ = 6√3/6 = √3 см.
Проведем высоту трапеции Н₁К.
НК = HO - H₁O₁ = 4√3/3 - √3 = √3/3 cм
ΔHH₁K: ∠HKH₁ = 90°,
HH₁ = HK / cos60° = √3/3 / (1/2) = 2√3/3 см
Sбок = (Pabc + Pa₁b₁c₁) / 2 · HH₁
Sбок = (8 ·3 + 6 · 3) /2 · 2√3/3 = 42/2 · 2√3/3 = 14√3 см