Пусть Н - середина стороны ВС.
АН⊥ВС как медиана и высота правильного треугольника АВС,
SH⊥ВС как медиана и высота равнобедренного треугольника SBC.
∠SHA = 45° - линейный угол двугранного угла между плоскостью боковой грани и плоскостью основания.
ΔSOH: ∠SOH = 90°, ∠SHO = 45°, значит это равнобедренный прямоугольный треугольник, тогда
ОН = SH = 4 м, SH = 4√2 м
ОН - радиус окружности, вписанной в правильный треугольник:
ОН = АВ√3/2
АВ = 2 · ОН / √3 = 2 · 4 / √3 = 8√3/3 м
Sбок = 1/2 Pосн · SH
Sбок = 1/2 · 3 · 8√3/3 · 4√2 = 16√6 м²
Центр окружности, вписанной в треугольник, находится в точке пересечения его биссектрис.
Так как срединные перпендикуляры правильного треугольника - его высоты и биссектрисы, центры описанной и вписанной окружности совпадают.
Радиус описанной вокруг правильного треугольника окружности равен 2/3 его высоты.
Радиус вписанной равен половине радиуса описанной окружности, т.е. 1/3 высоты ( медианы, биссектрисы).
Высота правильного треугольника равна (а√3):2, радиус вписанной окружности r=[(а√3):2]:3, где а - сторона треугольника. ⇒
r=[6√3•√3):2]:3=18:6=3
Площадь круга находят по формуле:
S=π•r²
S=π•3²=9π