Если продолжить KL и MN то эти линии пересекутся на продолжении ребра B1C1 в точке, которую обозначим O. Рассмотрим положение этой точки в плоскости грани BCC1B1. Легко увидеть, что C1O равна половине длины ребра куба. Аналогичное наблюдение можно сделать и из анализа грани A1B1C1D1. Из симметрии следует что треугольник ONL - равнобедренный с основанием NL. Длина этого основания по теореме Пифагора равна корень(a*a+a*a)/2 = a/корень(2). Длины боковых сторон так-же a/корень(2). То есть треугольник равносторонний, а искомый угол при его вершине 60 градусов.
Стона тр-ка равна а=Р/3=24/3=8см. Радиус описанной окружности около правильного тр-ка рассчитывается по формуле: R=(a√3)/3=(8√3)/3см. Пусть сторона пятиугольника равна х. Правильный пятиугольник состоит из пяти равнобедренных тр-ков с основанием х, которые, в свою очередь делятся высотой, опущенной из центра на основание х, на два прямоугольных треугольника. Рассмотрим один такой тр-ник. У него гипотенуза R, один из катетов х/2, а угол, напротив этого катета - центральный, равен: ∠О=360/10=36° sin36=(х/2)/R, x=2Rsin36=(16sin36·√3)/3≈5.43см.
