Введем дополнительные обозначения: Пусть окружность касается стороны CD в точке К, ОЕ1 и ОЕ2 - высоты трапеции АОQD a) по условию АВ-диаметр окружности, значит АО=ОВ=R ABCD - равнобедренная трапеция, следовательно ∠ВАD=∠CDA и AB=CD=2R Если Q - середина CD, то ОQ - средняя линия трапеции. Следовательно AO=OB=CQ=QD=R Также АО=ОН=R, то есть ΔАОН-равнобедренный, значит ∠ВАD=∠OHA При этом ∠ВАD=∠CDA, следовательно ∠OHA=∠CDA, значит эти углы соответственные при параллельных прямых ОН и DQ и секущей АD. Итак, ОН=QD и ОН || QD, следовательно DQOH-параллелограмм.
б) ∠ВАD=∠OHA=60° ∠АОН=180°-(∠ВАD+∠OHA)=180°-(60°+60°)=60° - ΔАОН - равносторонний, следовательно АН=R ∠ABC=∠BCD=180°-60°=120° Если окружность касается CD, то ∠OKC=90° и ОК=R Сумма всех углов в четырехугольнике равна 360° ∠ВОК=360°-(∠ОВС+∠OKC+∠DCK)=360°-(120°+90°+120°)=30° Если ОQ -средняя линия трапеции, то OQ || AD, следовательно ∠BAD=∠BOQ=60° ∠KOQ=∠BOQ-∠ВОК=60°-30°=30° ΔOQK -прямоугольный с прямым углом OKQ OQ=HD- так как DQOH-параллелограмм средняя линия трапеции =(а+в)/2
Найдите углы равнобедренного треугольника, если один из его углов в пять раз меньше суммы двух других.
============================================================
Пусть ∠А = ∠С = х , ∠В = у, тогдаРассмотрим 2 случая решения данной задачи:Первый случай:∠В = ( ∠А + ∠С )/5у = 2х/5Сумма всех углов в треугольнике составляет 180° ⇒∠А + ∠В + ∠С = 180°х + 2х/5 + х = 18х°12х/5 = 180°х = 75°Значит, ∠А = ∠С = 75° , ∠В = 30°Второй случай:∠А = ( ∠В + ∠С )/5х = ( у + х )/55х = у + ху = 4хСумма всех углов в треугольнике составляет 180° ⇒∠А + ∠В + ∠С = 180х + 4х + х = 180°6х = 180°х = 30°Значит, ∠А = ∠С = 30° , ∠В = 120°ОТВЕТ: 30°, 75°, 75° ИЛИ 30°, 30°, 120°