Проекции катетов на гипотенузу прямоугольного треугольника - это отрезки, на которые высота из прямого угла делит гипотенузу. Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой. Отсюда h² =12*3=36 h=6 По теореме Пифагора из треугольников, на которые высота разделила исходный треугольник, найти катеты сложности не представляет. Меньший катет равен 3√5, больший - 6√5 Проверка: Квадрат гипотенузы равен (3√5)²+ (6√5)²=225 Гипотенуза равна √225=15, что соответствует условию задачи.
1) Основание данной призмы - это проекция полученного сечения на плоскость основания.
Отношение площади основания к площади сечения равно косинусу угла между ними. S(ABCDEF)/S(ABC₂D₁E₁F₂)=cosα.
Площадь правильного шестиугольника: S₆=3a²√3/2.
В тр-ке ВСD по т. косинусов BD²=BC²+CD²-2BC·CD·cos120°,
BD²=a²+a²-2a²·(-0.5)=3a².
BD=a√3.
В тр-ке BD₁D BD₁=√(DD₁²+BD²)=√(a²+3a²)=2a.
cosα=BD/BD₁=a√3/2a=√3/2.
S(ABC₂D₁E₁F₂)=S₆/cosα=(3a²√3/2):(√3/2)=3a² - это ответ.
2) в основании правильный треугольник, тогда его высота по Т.Пифагора: СН=кор(4^2-2^2)=кор12=2кор3
рассмотрим треугольник МНС-прямоугольный (угол С=90), угол МНС=45, тогда угол НМС тоже 45, следовательно, трреугольник равнобедренный, тогда НС=МС=2кор3
т.к. СС1=2МС=4 кор3
тогда площадь боковой поверхности
S=Pосн*Н=(4+4+4)*4кор3=48 кор3