Пирамида правильная, значит в основании правильный треугольник, боковые грани равные равнобедренные треугольники, высота проецируется в центр основания.
Пусть Н - середина ВС. Тогда SH медиана и высота равнобедренного треугольника SBC. SH - апофема пирамиды. SH = 12 см.
АН - медиана и высота равностороннего треугольника АВС.
АН⊥ВС, SH⊥ВС, ⇒ ∠SHA = 60° - линейный угол двугранного угла при основании.
ΔSOH: ∠SOH = 90°, cos60° = OH / SH,
OH = SH · cos60° = 12 · 1/2 = 6 см
ОН - радиус окружности, вписанной в правильный треугольник АВС:
OH = BC√3/6,
BC = 6OH / √3 = 36/√3 = 12√3 см
Sбок = 1/2 Pосн · SH = 1/2 · 3 · BC · SH = 1/2 · 3 · 12√3 · 12 = 216√3 см²
• В основаниях правильной треугольной призмы лежат правильные треугольники ( тр. АВС = тр. А1В1С1 - равносторонние ). У прямой призмы рёбра равны, перпендикулярны основаниям, параллельны друг другу.
• В сечении правильной треугольной призмы находится равнобедренная трапеция ( DP || KL , KD = LP ).
• DP - средняя линия тр. А1В1С1
DP = ( 1/2 ) • A1C1 = ( 1/2 ) • 15,7 = 15,7 / 2 см.
KL = A1C1 = 15,7 см
• Проведём в тр. А1В1С1 высоту В1Н на А1С1.
В1Н = А1С1•\/3 / 2 = ( 15,7 • \/3 ) / 2 см
НN = ( 1/2 ) • B1H = ( 15,7 • \/3 ) / 4 см
• Рассмотрим тр. МНN (угол МНN = 90°):
cos MNH = HN / MN
cos 30° = ( 15,7 • \/3 ) / 4 : MN
MN = 15,7 / 2 см
• Площадь трапеции KDPL равна:
S = ( 1/2 ) • ( DP + KL ) • MN = ( 1/2 ) • ( 15,7 / 2 + 15,7 ) • 15,7 / 2 = ( 47,1 • 15,7 ) / 8 = 92,43375 см^2
ОТВЕТ: 92,43375 см^2
__________________________