Question

Стороны треугольника соответственно равны: a) 13; 14; 15; б) 4; 5; 7. найдите радиусы вписанной и описанной около треугольника окружностей. плз

Answer 1

Найдем площадь треугольника по формуле Герона.
  $p= \dfrac{a+b+c}{2}= \dfrac{13+14+15}{2}=21$ - полупериметр
$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}= \sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)} =84$

И равенства $S= \dfrac{abc}{4R}$ выразим радиус описанной окружности
    $\boxed{R= \dfrac{abc}{4S} = \dfrac{13\cdot14\cdot15}{4\cdot 84} =8.125}$

Периметр треугольника равен $P=a+b+c=13+14+15=42$. Тогда радиус вписанной окружности:
   $\boxed{r= \frac{2S}{P}= \frac{2\cdot84}{42} =4 }$

б) Найдем периметр треугольника равен $P=a+b+c=4+5+7=16$, а полупериметр - $p=8$
Площадь треугольника равна:
   $S= \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}= \sqrt{8(8-4)(8-5)(8-7)} =4 \sqrt{6}$
Тогда радиус описанной окружности:
               $\boxed{R= \frac{abc}{4S} = \frac{4\cdot 5\cdot 7}{4\cdot 4 \sqrt{6} } = \frac{35}{4 \sqrt{6} }}$
а радиус вписанной окружности:
          $\boxed{r= \frac{2S}{P}= \frac{2\cdot4 \sqrt{6} }{16} = \frac{\sqrt{6} }{2} }$