Question

1) определите градусную меру центрального угла, если площадь круга равна 36п см^2 , а площадь сектора равна 15п см^2 2) объем тетраэдра равен v. найдите сумму всех ребер тетраэдра

Answer 1

1) Площадь сектора прямо пропорциональна величине угла, поэтому искомый угол х меньше 360 град. во столько же раз, во сколько 15п см^2 меньше 36п см^2 (15/36), т.е. х=150

2) Пусть все рёбра по а, тогда площадь основания

$S=\frac{a^2\sqrt3}{4};$.

Высота тетраэдра H, высота боковой грани h и отрезок, соединяющий основания этих высот m (он равен трети медианы основания, т.к. высота тетраэдра падает в центр треугольника) связаны теоремой Пифагора:

$m^2+H^2=h^2;\\ H=\sqrt{h^2-m^2}$

m=h/3, т.к. все треугольники равны.

$h=a\frac{\sqrt3}{2}$ как высота правильного треугольника.

$H=\sqrt{h^2-h^2/9}=\sqrt{8h^2}/3=\sqrt{8*a^2*3/4}/3=a\frac{\sqrt6}{3}$;

Объём

$V=SH/3=\frac{a^2\sqrt3}{4}*a\frac{\sqrt6}{3}/3=a^3\sqrt2/12;\\ a=\sqrt[3]{12V/\sqrt2};\\$

Всего рёбер 6, значит

$6a=6\sqrt[3]{12V/\sqrt2}$