1) P∈AA1. Смежные ребра куба пересекаются под прямым углом (AA1⊥A1D1).
2) AA1C1C - прямоугольник (сечение через два параллельных ребра), A1C1||AC. MN - средняя линия в ADC, MN||AC. MN||A1C1.
3) PN пересекает плоскость BCN в точке, не принадлежащей BC. Прямые скрещиваются.
4) B1D пересекает плоскость CC1D в точке, не принадлежащей CC1. Прямые скрещиваются.
5) AM пересекает плоскость CC1D в точке D, не принадлежащей CC1. Прямые скрещиваются.
6) N∈DC. Смежные ребра куба пересекаются под прямым углом (DC⊥CC1).
7) D1P и AD лежат в плоскости грани ADD1. Если точка P не совпадает с точкой A1, то D1P и AD пересекаются.
Пусть имеем наклонный параллелепипед АВСДА1В1С1Д1.
Проекция точки А1 на основание попадает на длинную диагональ ромба в точку А0.
Проведём из точки А1 высоту А1А2 на ребро АД основания.
Отрезок АА2 равен А1А2 и равен 6/√2 = 3√2 см.
Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник А1А2А0.
А1А0 это высота параллелепипеда.
Отрезок А0А2 лежит против угла в 30 градусов (диагональ ромба делит угол пополам). А0А2 = АА2*tg30° = 3√2/√3 см.
Отсюда находим высоту параллелепипеда:
А1А0 = √((3√2)² - (3√2/√3)²) = √(18 - 6) = √12 = 2√3 см.