Развёрткой боковой поверхности конуса является круговой сектор радиуса 6 см и дугой 120 градусов. Найдите площадь поверхности конуса.
-------------------------
Если данный сектор свернуть так, чтобы концы дуги сошлись, а боковые стороны – радиусы окружности, частью которой является этот сектор, – совместились, получим наш конус. При этом радиус кругового сектора будет его образующей, а длина дуги - длиной окружности в основании конуса.
Площадь поверхности конуса - сумма площадей основания и боковой поверхности.
Данная развертка - третья часть круга, т.к. ее градусная мера - треть от полной окружности. Площадь сектора = площади боковой поверхности конуса.
Длина С дуги сектора - длина окружности основания конуса.
С=2πR:3
С=2π•6:3=4π
4π=2π•r, где r- радиус основания конуса.
r=2
Площадь основания
S осн=πr²=4π см²
S бок=π r L=π•2•6=12π или πR²:3=(36π:3=12) см²
S полн=16π см²
Пусть середина АС - точка К. Тогда КМ соединяет середины двух сторон. КМ- средняя линия ∆ АВС.
Средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и делит его на подобные треугольники.
КМ -параллельна ВС, угол АКМ=90º, ∆ АКМ - прямоугольный.
Расстояние от К ( середины АС) до гипотенузы - перпендикуляр КН, высота ∆ АКМ.
∆ АКМ~∆АВС с коэффициентом подобия АМ:АВ= k=1/2
Площади подобных фигур относятся как квадрат их коэффициента подобия.
S∆ AKM:S∆ ABC=k²=1/4
S∆ ABC=4 S∆ AKM
Площадь ∆ АКМ=КН•AN:2=3•12:2=18 см²
S∆ ABC=18•4=72см²