Cosα = 2/9, α ≈ 77,1°
Объяснение:
В правильном тетраэдре все ребра равны, а грани - правильные треугольники.
Центры граней - точки пересечения медиан (высот, биссектрис).
Привяжем систему прямоугольных координат к вершине А и найдем координаты нужных нам для решения точек учитывая, что высота правильного треугольника равна h=(√3/2)*а, высота правильного тетраэдра равна H=√(2/3)*а, медианы в точке пересечения делятся в отношении 2/3, считая от вершины, <BAC=60° => <BAH=30°,
<YpAH = 60°. Тогда
А(0;0;0).
Q(a/2;(√3/6)а;0) - так как Хq = Xp = a/2, Yq = (2/3)*h*Cos60.
М(a/4;√3a/12;(√(2/3))*а/2) - так как Xm = Xq/2, Ym = Yq/2, Zm =H/2 - из подобия треугольников).
P(a/2;(√3/3)*а;(√(2/3))*а/2) - так как Xp=Xq, Yp=(2/3)*h, Zp=Zm.
N(2a/3 ;(2√3/9)a;√(2/3))*а/3)- так как Xn=Xq+(2/3)*(1/3)*h*Cos30, Yn=Yq+(2/3)*(1/3)*h*Cos60, Zn=(1/3)*H.
Примем а=1. Тогда
Вектор PQ{0;-√3/6; -(√(2/3)/2}. |PQ| = √(0+3/36+1/6) = 1/4.
Вектор MN{5/12;5√3/36; -(√(2/3)/6}.
|MN| = √(25/144+75/1296+1/54) = 324/1296 = 1/4.
Cosα = |(Xpq*Xmn+Ypq*Ymn+Zpq*Zmn)/(|PQ|*|MN|) или
Cosα = |(0-5/72+1/18)/((1/4)*1/4)| = |(-1/72)/(1/16)| = 2/9.
α ≈ 77,1°
Площадь боковой грани (равнобедренного треугольника) равна Sг=(1/2)*Высота грани*основание (сторона квадата).
Высота грани по Пифагору: √[7²-(5/2)²]=√42,75 = 1,5√19см.
Sг=(1/2)*5*1,5√19=3,75√19см².
S=25+3,75√19см².
ответ: S=25+3,75√19см².
2. Площадь боковой поверхности усеченной пирамиды равна сумме четырех площадей боковых граней. Боковая грань - равнобедренная трапеция, так как пирамида правильная. Высота этой трапеции делит большое основание на отрезки, меньшее из которых равно полуразности оснований. Эта полуразность равна (10-6):2=2см.Тогда высота h=2см, так как угол между боковой стороной трапеции и большим основанием равен 45°.
Тогда площадь боковой грани (равнобокой трапеции) равна
Sг=(6+10)*2/2=16см². Площадь боковой поверхности равна
S=4*16=64см².
3. Половины диагоналей оснований (квадратов) равны: АО=5√2, А1О1=4√2.
Тогда АН=АО-А1О1 = √2. (Н - основание высоты пирамиды).
Боковое ребро пирамиды равно АА1=√(2+3)=√5.
Тогда в боковой грани (равнобедренной трапеции) высота равна:
А1Н1=√(АА1²-(AD-A1D1)²/4)=4см. Площадь грани:
Sг=(AD+A1D1)*A1H1/2 = 36см².
Sб=4*36=144см².
4. Диагонали оснований (квадратов) равны 4√2 и 10√2.
Высота пирамиды из площади диагонального сечения (равнобокой трапеции):
28√2=14√2*Н/2=4см.
Боковое ребро пирамиды равно АА1=√(18+16)=√34.
Тогда в боковой грани (равнобедренной трапеции) высота равна:
А1Н1=√(АА1²-(AD-A1D1)²/4)=√(34-9)= 5см. Площадь грани:
Sг=(AD+A1D1)*A1H1/2 = 7*5 = 35см².
Sб=4*35=140см².