Задача 1 Апофема правильної трикутної піраміди дорівнює 12 см, а
бічна грань утворює з площиною основи кут 60°. Знайдіть
сторону основи піраміди.
Задача 2
Сторона основи правильної семикутної піраміди дорівнює 2
см, а її апофема — 3 см. Знайдіть площу бічної поверхні
піраміди.
Задача 3
Сторона основи правильної трикутної піраміди дорівнює 2
см, а двогранний кут при ребрі основи дорівнює 30°. Знайдіть
площу повної поверхні піраміди.
АС=СВ=a, AB=b. <A=<B, SinA=SinB=1/4.
Тогда CosB=√(1-1/16)=√15/4.
По теореме косинусов из треугольника АВС имеем:
a²=a²+b²-2abCosB или 0=b²-2*16√15*b*√15/4 или
b²-120b=0. b1=0 - не удовлетворяет условию.
b=120.
Площадь треугольника АВС равна: (1/2)*a*b*sinA или
Sabc=(1/2)*16√15*120*0,25=240√15. С другой стороны
Sabc=(1/2)*a*h, где а - сторона ВС, h - высота АН, проведенная к этой стороне. Тогда
АН=2Sabc/a или АН=480√15/(16√15)=30.
ответ: АН=30.
P.S. Заметим, что треугольник АВС - тупоугольный, так как синус угла при основании равен 0,25 => угол ≈14,5°.