На чертеже точки касания N и N1 изображены совпадающими, но это еще надо доказать. Поэтому СНАЧАЛА я не считаю их совпадающими. То есть окружность O1 касается AC в точке N, а окружность O2 - в точке N1 (слова "с центром" дальше буду опускать, если и так ясно). Для треугольника ABC точки касания с O1 делят стороны на три отрезка AN, CN и еще один (точнее, два равных) из вершины B. Я обозначу его например буквой x. Тогда очевидно AN + CN = AC; AN + x = AB; CN + x = BC; Если вычесть из второго третье, получится AN - CN = AB - BC; если теперь сложить это с первым, то AN = (AC + AB - BC)/2; Точно так же для треугольника ACD получается AN1 = (AC + AD - CD)/2; и нигде не предполагается, что AN = AN1; это надо доказать. Весь четырехугольник ABCD является ОПИСАННЫМ, то есть AD + BC = AB + CD; или AD - CD = AB - BC; или AC + AD - CD = AC + AB - BC; то есть AN = AN1, и точки N и N1 совпадают, это просто одна точка N. Последствия этого очень велики. :) Окружности O1 и O2 касаются, AC является общей касательной, проведенной в точке касания N окружностей O1 и O2, и линия центров O1O2 перпендикулярна AC. Важно! - пока нигде не использовано, что ABCD - трапеция! Этот результат справедлив для любого выпуклого описанного четырехугольника. Поэтому (см. чертеж) ∠KO1O2 = ∠CAD (стороны углов перпендикулярны), и треугольники KO1O2 и ACP подобны. CP - высота трапеции. Она равна CP = 2R = 40; сумма радиусов окружностей равна O1O2 = 25; отсюда легко найти KO1 = 40 - 25 = 15; получился "египетский" треугольник :) то есть KO2 = 20; Ну, и из подобия KO1O2 и ACP AC = 50 (поскольку СP = 2*KO2 :) )
Каждое ребро правильной шестиугольной призмы равно а. Найдите площадь поверхности призмы.
---
Призма называется правильной, если ее боковые ребра перпендикулярны основаниям, а основания – правильные многоугольники.
Все ребра правильной призмы равны, ⇒
каждая из 6 боковых граней – квадрат, площадь которого S=a².
Ѕ(бок)=6а²
Основания правильной шестиугольной призмы - правильные шестиугольники, состоящие из 6 равных правильных треугольников.
Формула площади правильного треугольника S=(a²√3):4 ⇒
Ѕ (осн)•2=2•6•(a²√3):4=3а²√3
Площадь поверхности призмы равна сумме площадей: площади боковой поверхности и двух оснований.
S (призмы)= 6а²*+3•a²√3 или 3а²•(2+√3) ≈11,2а²