А1 Если точка лежит в плоскости YOZ, то x=0;
ответ: а) A(0; 1; 1).
A2 Координаты середины отрезка равны полусумме координат концов отрезка:
x(М) = (x(A) + x(В))/2; ⇒ x(B)=2· x(M) - x(A);
x(B) = 2 · (- 2) - 1 = - 5
y(B) = 2 · 4 - 3 = 5
z(B) = 2 · 5 - (- 2) = 12
ответ: a) B(- 5; 5; 12).
A3 B(6; 3; 6) C(- 2; 5; 2)
Если АМ медиана, то M - середина ВС.
x(M) = (6 - 2)/2 = 2; y(M) = (3 + 5)/2 = 4; z(M) = (6 + 2)/2 = 4
M(2; 4; 4); A(1; 2; 3)
AM² = (2 - 1)² + (4 - 2)² + (4 - 3)² = 1 + 4 + 1 = 6;
AM = √6
ответ: а) √6
А4 Скалярное произведение равно сумме произведений соответствующих координат:
↑a · ↑b = 1 · (- 1) + (- 1) · 1 + 2 · 1 = - 1 - 1 + 2 = 0
ответ: б) 0.
А5 При симметрии относительно оси Ох меняют знак координаты у и z:
А(0; 1; 2) → A₁ (0; - 1; - 2),
B(3; - 1; 4) → B₁ (3; 1; - 4),
C(- 1; 0; - 2) → C₁ (- 1; 0; 2).
B1 Неполное условие. Должно быть так:
Диагональ осевого сечения цилиндра равна √81 см, а радиус основания – 3 см. Найти высоту цилиндра.
Осевое сечение цилиндра - прямоугольник, одна сторона которого (АВ) равна диаметру основания, а другая - образующая (она же высота).
Из прямоугольного треугольника АВВ₁ по теореме Пифагора:
ВВ₁ = √(АВ₁² - АВ²) = √(81 - 36) = √45 = 3√5 см
ответ: 3√5 см
B2 ΔSOA прямоугольный,
R = OA = SA · cos30° = 8 · cos30° = 8 √3/2 = 4√3 см
h = SO = SA · sin30° = 8 · 1/2 = 4 см
Sasb = 1/2 AB · SO = 1/2 · 2R · h = R · h = 4√3 · 4 = 16√3 см²
С1 Если призма вписана в шар, то ее основания вписаны в равные круги - параллельные сечения шара, а центр шара - точка О - лежит на середине отрезка КК₁, соединяющего центры этих кругов.
Отрезок, соединяющий центр шара с центром сечения, перпендикулярен сечению. ОК перпендикулярен плоскости АВС. Тогда КК₁ - высота призмы.
ОА - радиус шара, ОА = 4 см,
КА - радиус сечения, или радиус окружности, описанной около правильного треугольника АВС (призма правильная), тогда
КА = а√3/3, где а - ребро осноавния,
КА = 6√3/3 = 2√3 см
Из прямоугольного треугольника АОК по теореме Пифагора:
ОК = √(ОА² - КА²) = √(4² - (2√3)²) = √(16 - 12) = √4 = 2 см
КК₁ = 2ОК = 4 см
ответ: 4 см
даны координаты вершин треугольника авс: а(0; -10),в(-12; -1),с(4; 12).найти:
1. длину стороны ав:
ав (с) = √((хв-ха)²+(ув-уа)²) = √225 = 15.
2. уравнение сторон ав и ас:
ав : х-ха = у-уа х = у + 10
хв-ха ув-уа -12 9
9х = -12у -120 сократим на 3 и перенесём налево:
3х + 4у + 40 = 0.
у(ав) = -0,75х - 10.
ас : х-ха = у-уа
хс-ха ус-уа
11х - 2у - 20 = 0
у = 5,5х - 10
3. величину угла а:
cos a= ав²+ас²-вс² = 0,4472136.
2*ав*ас
a = 1,107149 радиан.
a = 63,434949 градусов.
4. уравнение высоты cd и ее длину.
к(сд) = -1/к(ав) = -1/(-0,75) = 4/3.
у = (4/3)х + в. для определения "в" подставим координаты точки с:
12 = (4/3)*4 + в, в = 12 - (16/3) = 20/3.
уравнение сд: у = (4/3)х + (20/3).
длину сд можно определить двумя способами: сд = 2s/ab и по координатам точек с и д.
приравниваем уравнения ав и сд: -0,75х - 10 = (4/3)х + (20/3),
(-25/12)х = (20/3) + 10 = 50/3,
х = (50/3)/(-25/12) = (-600/75) = -8,
у = (-3/4)*(-8) - 10 = 6 - 10 = -4. точка d: (-8; -4).
длина сд = √((-8-4)² + (-4-12)²) = √(144 + 256) = √400 = 20.
5. уравнение медианы ве.
точка е как середина ас: (2; 1).
ве: х-хв = у-ув х + 12 = у + 1
хе-хв уе-ув 14 2
знаменатели сократим на 2: х + 12 = 7у + 7.
общее уравнение ве: х - 7у + 5 = 0,
с угловым коэффициентом: у = (1/7)х + (5/7).
6. координаты точки к пересечения медианы ве и высоты cd.
(1/7)х + (5/7) = (4/3)х + (20/3),
(-25/21)х = (125/21)
х = -125/25 = -5, у = (1/7)*(-5) + (5/7) = 0. точка к: (-5; 0).
7. уравнение прямой кр, проходящей через точку к параллельно стороне ав.
угловой коэффициент равен -0,75.
уравнение кр: у = (-0,75)х + в. подставим координаты точки к(-5; 0):
0 = (-0,75)*(-5) + в, в = - (15/4) = -3,75.
у = (-0,75)х - 3,75.
8. координаты точки м, расположенной симметрично точке а относительно прямой cd.
так как cd - перпендикуляр к прямой ав, то точка d(-8; -4) - это та точка, относительно которой требуется найти точку, симметричной точке а.
xm = 2xd - xa = 2*(-8) - 0 = -16,
ym =2yd - ya = 2*(-4) - (-10) = -8 + 10 = 2.
точка м(-16, 2).
объяснение: