10.2.В правильной четырехугольной пирамиде sabcd, все ребра которой равны 1, (рис.10.6).Найдите расстояние от точки S до плоскости a)AВ ; б) АС. 10.3.ABCA1B1C1 все стороны прямоугольной призмы равны к 1 (рис. 10.7). Найдите расстояние от точки A до плоскости a) BB1 b) BC c) BA1.
1) Геометрическое место точек, равноудаленных от точек А и В - это серединный перпендикуляр к прямой АВ. Вектор АВ{Xb-Xa;Yb-Ya;Zb-Za} ={1;4-1}. Середина вектора АВ - точка Р((1+0)/2;(2-2)/2; (0-1)/2) или Р(0,5;0;-0,5) Теперь надо найти точку М(0;0;z), чтобы вектор МР был перпендикулярен вектору АВ. Вектор МР{0,5-0;0-0;z-(-0,5)} = {0,5;0;z+0,5}. Векторы являются перпендикулярными тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю. Скалярное произведение векторов AB{1;4;-1} и MP{0,5;0;z+0,5}: (AB*MP) = Xab*Xco+Yab*Yco+Zab*Zco =1*0,5+4*0+(-1)*(z+0,5). Условие: 0-z=0 => z=0. ответ: z=0. 2) Векторы СО и АВ будут равными, если они сонаправлены и равны по модулю. Сонаправленные вектора, это вектора, координаты которых пропорциональны и коэффициент пропорциональности ПОЛОЖИТЕЛЕН. Вектор АВ{1-0;2-(-2);-1-0} = {1;4;-1}, вектор CO{0-x;0-y;0-0} = {-x;-y;0}. |AB|=√(1²+4²+(-1)²)=√18. |CO|=√((-x)²+(-y)²+0²). Если модули равны, то и квадраты модулей равны. x²+y² = 18. -x/1=-y/4 y=4x. x²+16x²=18 x²=18/17. x≈1,03 y²=18-18/17 =288/17 ≈17. y≈4,16. CO={1,03;4,16;0} 3) Векторы являются перпендикулярными тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю. Скалярное произведение векторов ВА{-1;-4;1} и m{Xm;1;2}: (ВА*m)= 1*Xm+4*Ym+Zab*Zm Или (BA*m)= (-1)*Xco-4*1+1*2=0. => Xm= -2. ответ: Xm= -2.
Параллелограмм АВСД. Проведем биссектрису угла А, она пересечет сторону ВС в точке К (<BAK=<ДAК) У параллелограмма противоположные стороны параллельны (АВ||CД и ВС||АД). Биссектриса АК является секущей параллельных прямых АД и ВС, значит <BКА=<ДAК (как внутреннае накрест лежащие). Получается, что ΔАВК, отсекаемый биссектрисой, - равнобедренный, т.к. углы при основании равны (<BAK=<ВКА). Отсекаемый треугольник может быть равносторонним, если биссектриса будет опущена из угла, равного 120°. В этом случае у отсекаемого треугольника все углы будут равны 60°
Вектор АВ{Xb-Xa;Yb-Ya;Zb-Za} ={1;4-1}.
Середина вектора АВ - точка Р((1+0)/2;(2-2)/2; (0-1)/2) или
Р(0,5;0;-0,5)
Теперь надо найти точку М(0;0;z), чтобы вектор МР был перпендикулярен вектору АВ.
Вектор МР{0,5-0;0-0;z-(-0,5)} = {0,5;0;z+0,5}.
Векторы являются перпендикулярными тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.
Скалярное произведение векторов AB{1;4;-1} и MP{0,5;0;z+0,5}:
(AB*MP) = Xab*Xco+Yab*Yco+Zab*Zco =1*0,5+4*0+(-1)*(z+0,5).
Условие: 0-z=0 => z=0.
ответ: z=0.
2) Векторы СО и АВ будут равными, если они сонаправлены и равны по модулю. Сонаправленные вектора, это вектора, координаты которых пропорциональны и коэффициент пропорциональности ПОЛОЖИТЕЛЕН.
Вектор АВ{1-0;2-(-2);-1-0} = {1;4;-1},
вектор CO{0-x;0-y;0-0} = {-x;-y;0}.
|AB|=√(1²+4²+(-1)²)=√18.
|CO|=√((-x)²+(-y)²+0²). Если модули равны, то и квадраты модулей равны.
x²+y² = 18. -x/1=-y/4 y=4x.
x²+16x²=18 x²=18/17. x≈1,03
y²=18-18/17 =288/17 ≈17. y≈4,16.
CO={1,03;4,16;0}
3) Векторы являются перпендикулярными тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю. Скалярное произведение векторов ВА{-1;-4;1} и m{Xm;1;2}:
(ВА*m)= 1*Xm+4*Ym+Zab*Zm Или
(BA*m)= (-1)*Xco-4*1+1*2=0. => Xm= -2.
ответ: Xm= -2.