Постройте сечение параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 - прямоугольники. а) Постройте сечение параллелепипеда плоскостью проходящей через точки D,M,P и C, если М - середина A1D1,P - середина B1C1.
б) Найдите периметр сечения, если AB=3см, AD=6см, DD1=4см
в) Докажите параллельность прямых MD и PC.
а) Для начала построим сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки D, M, P и C.
1. Нарисуем основу параллелепипеда ABCD со сторонами AB и AD. В данном случае, сторона AB равна 3 см, а сторона AD равна 6 см.
2. Затем построим прямую, проходящую через точки M и P. Для этого найдем середины отрезков A1D1 и B1C1. Для середины A1D1 возьмем половину отрезка AD1 и обозначим ее как E. Точка E будет серединой отрезка A1D1. Аналогично, для середины B1C1 обозначим точку F.
3. Проведем прямую, проходящую через точки E и F. Пусть эта прямая пересекает сторону AB в точке G.
4. Затем проведем прямую, проходящую через точки G и D. Пусть эта прямая пересекает прямую, проходящую через точки E и F, в точке H.
5. Наконец, проведем прямую, проходящую через точки H и C. Пусть эта прямая пересекает сторону AD в точке K.
Таким образом, мы получим параллелограмм, который будет сечением параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки D, M, P и C.
б) Теперь найдем периметр сечения. Для этого измерим длину каждой стороны параллелограмма, который получили на предыдущем шаге.
1. Длина стороны AB на плоскости сечения останется такой же как и длина стороны AB параллелепипеда, то есть 3 см.
2. Длина стороны BC на плоскости сечения равна длине стороны AD1 параллелепипеда, так как сторона BC параллельна стороне AD1. Из условия задачи, длина стороны AD1 равна 6 см.
3. Длина стороны CD на плоскости сечения равна длине отрезка KD в параллелограмме, так как сторона CD параллельна стороне KD. Для вычисления длины отрезка KD, нам потребуется использовать теорему Талеса или свойство подобных треугольников. Однако, в условии задачи отсутствуют достаточные данные для вычисления этой длины.
4. Длина стороны AD на плоскости сечения равна длине стороны HG в параллелограмме, так как сторона AD параллельна стороне HG. Опять же, для вычисления длины стороны HG нам необходимы дополнительные данные, так как она не совпадает с длиной отрезка AD.
В таком случае, мы можем вычислить периметр только частично, зная только длины сторон AB и BC.
в) Для доказательства параллельности прямых MD и PC можно воспользоваться двумя способами:
1. Свойством параллельности: Если две прямые пересекаются третьей прямой таким образом, что сумма углов, образованных пересекающимися прямыми с этой третьей прямой, равна 180 градусов, то эти две прямые параллельны. В данном случае, рассмотрим пару прямых MD и PC и третью прямую DC. Если сумма углов MDC и PCD равна 180 градусов, то прямые MD и PC параллельны.
2. Теоремой об опорных отрезках: Если ортоцентр треугольника лежит на одной прямой с серединами сторон, содержащихся в данном треугольнике, то этот отрезок является опорным, а прямые, его соединяющие, параллельны. В данном случае, рассмотрим треугольник DMP и его ортоцентр K. Ортоцентр треугольника DMP лежит на прямой, соединяющей середины сторон MP и DP (то есть прямой, проходящей через точку C), что означает, что прямые MD и PC параллельны.
Можно выбрать любой из этих способов для доказательства параллельности прямых MD и PC.