Question

❤️❤️❤️ 4. Треугольника РМК задан координатами своих
вершин P(-1;5;3), M(-1;-3;9), K(3;-2;6) а) докажите,
что треугольник РМК - прямоугольный; б) найти
длину медианы треугольника, проведенной из
вершины прямого угла

Answer 1

Для доказательства прямоугольности треугольника РМК нам необходимо проверить, являются ли два из его сторон перпендикулярными друг другу.

a) Для начала найдем векторы сторон треугольника.
Вектор PM: PM = M - P = (-1 - (-1), -3 - 5, 9 - 3) = (0, -8, 6)
Вектор PK: PK = K - P = (3 - (-1), -2 - 5, 6 - 3) = (4, -7, 3)

b) Проверим, являются ли данные векторы перпендикулярными друг другу. Если их скалярное произведение равно 0, то векторы перпендикулярны.
PM · PK = (0 * 4) + (-8 * -7) + (6 * 3) = 0 + 56 + 18 = 74
Так как скалярное произведение не равно 0, значит, векторы PM и PK не являются перпендикулярными друг другу.

Ответ вопроса a) - треугольник РМК не является прямоугольным.

b) Для того чтобы найти длину медианы, проведенной из вершины прямого угла, нужно отыскать середину стороны, противоположной этой вершине и найти длину отрезка от середины этой стороны до вершины прямого угла.

Середина стороны PK:
Xк = (Xп + Xk) / 2 = (-1 + 3) / 2 = 1/2
Yк = (Yп + Yk) / 2 = (5 - 2) / 2 = 3/2
Zк = (Zп + Zk) / 2 = (3 + 6) / 2 = 9 / 2

Теперь найдем вектор, соединяющий середину стороны PK и вершину P:
Вектор KP’: KP’ = P - P’ = (-1 - 1/2, 5 - 3/2, 3 - 9/2) = (-2 1/2, 8/2 - 3/2, 6/2 - 9/2) = (-2 1/2, 5/2, -3/2)

Длина вектора KP’: |KP’| = √[(-2 1/2)^2 + (5/2)^2 + (-3/2)^2] = √[(25/4 + 25/4 + 9/4)] = √[(59/4)] = √[59]/2

Таким образом, длина медианы треугольника, проведенной из вершины прямого угла, равна √[59]/2.