сторона правильного треугольника b
высота в правильном треугольнике h1=b√3 /2
гипотенуза прямоугольного треугольника b
высота в прямоугольном треугольнике h2=b/2
угол между плоскостями этих треугольников - обозначим <H
это линейный угол между высотами h1, h2
cos<H=h2/h1=b/2 / b√3 /2 = 1/√3
<H = arccos 1/√3 =54.74 = 55 град
Сделаем рисунок к задаче.
Так как правильный треугольник проецируется на плоскость, то проекции его равных сторон равны между собой.
На рисунке это
НА=НС
По условию задачи ⊿ АНС - прямоугольный. Следовательно, он равнобедренный, а его гипотенуза АС совпадает со стороной АС Δ АВС.
Пусть сторона правильного треугольника равна а.
Тогда гипотенуза ⊿ АНС равна а.
Найдем катеты НА и НС по теореме Пифагора.
Пусть катеты равны х
а²=2х²
х²=а²/2
х=а:√2=а√2:√2*√2=а√2):2
Искомый угол - это угол между высотой НМ ⊿ АНС и высотой ВМ Δ АВС.
Так как НМ высота равнобедренного прямоугольного треугольника, она является и его медианой и равна половине гипотенузы АС.
НМ=АМ=АС:2
НМ=а:2
ВМ- высота правильного треугольника АВС со стороной а и равна а√3):2
ВН² =(а√3):2)²-(а/2)²
ВН² = 3а²:4²- а²:4 =2а²:4
ВН=а√2):2
sin ВМН=а√2):2}:(а√3):2)
sin ВМН= √2 :√3=√2/3=0,8165
54° <ВМН <55°