Question

1)диагональ,проведенная из острого угла параллелограмма,совпадает с биссектрисой этого угла.докажите,что этот параллелограмм является ромбом. 2)биссектрисы тупых углов при основании трапеции пересекаются на другом ее основании.докажите,что сумма боковых сторон трапеции равна большему основанию.

Answer 1

1) параллелограмм АВСД, диагональ АС соединяет острые углы, она же по условию и биссектриса, значит,

уг. ВАС = уг.ДАС

т.к. это параллелограмм, то стороны АД и ВС - параллельны, а значит,

уг. ДАС = уг ВСА , следовательно в треугольнике АВС углы ВАС = ВСА  - т.е. он равнобедренный, т.е. АВ=ВС .

т.к. в параллелограмме противоположные стороны рваны, то

АВ = СД и ВС = АД, и значит, АВ=ВС=СД=АД - это ромб.

2) в трапеции АВСД, углы В и С - тупые, из них проведены биссектрисы ВН и СН и т.к. по условиям они пересекаются на другом основании, то Н - точка на стороне АД

т.к. ВН - биссектрисса, то уг. АВН = уг. СВН

т.к. АВСД - трапеция, то АД параллельно ВС, и значит, уг. СВН = ВНА

следовательно в треугольнике АВН углы ВНА = АВН  - т.е. он равнобедренный, т.е. АВ=АН .

аналогично, получаем ,что треугольник СДН тоже равнобедренный и СД=ДН

т.к. АД = АН+ДН , то получаем искомое:

АД = АВ + СД