Пусть ВС = а, AD = b, тогда 1) ∆ AOD подобен ∆ ВОС по двум углам ( ВС || AD ) → AD/BC = OD/BO = OA/CO = b/a 2) ∆ ABD подобен ∆ MBO по двум углам ( AD || MO) → AD/МО = АВ/BM = BD/BO AD/MO = BD/BO = ( BO + OD)/BO = 1 + ( OD/BO ) = 1 + b/a = ( a + b )/a
AD/MO = ( a + b )/a → AD = b MO = a·b/( a + b ) Аналогично через подобие треугольников получаем, что ON = a·b/( a + b ) Значит, MN = MO + ON = 2·a·b/( a + b )
MN = MO + ON = 2·a·b/( a + b ) 3 = 2·4·a/( a + 4 ) 8a = 3·( a + 4 ) 8a = 3a + 12 5a = 12 a = 12/5 = 2,4 Значит, ВС = 2,4
3) Рассмотрим ∆ ACD: AE = EC, ES || AD → ES – средняя линия. Значит, ES = ( 1/2 )·AD Рассмотрим ∆ BCD: FS – средняя линия → FS = ( 1/2 )·BC
EF = ES –FS = ( 1/2 )·AD – ( 1/2 )·BC = ( 1/2 )·( AD – BC )
Значит, EF = ( 1/2 )·( b – a ) EF = ( 1/2 )·( 4 – 2,4) = ( 1/2 )·1,6 = 0,8
1) Осуществим дополнительное построение: Проведём отрезок СЕ параллельно диагонали ВD => AC перпендикулярен СЕ. Также проведём отрезок СК параллельно отрезку МN
Из этого следует, что четырёхугольник ВСЕD - параллелограмм ( СЕ || ВD , BC || DE ). Aналогично, четырёхугольник МСКN - параллелограмм ( CK || MN, МС || KN ) Поэтому, BC = DE , MC = NK, BD = CE = 13 AE = AD + DE = AD + BC AK = AN + NK = (1/2) × AD + (1/2) × BC = (1/2) × ( ВС + AD ) Значит, K - середина отрезка АЕ , АК = КЕ Поэтому , МN = CK - медиана в ∆ АСЕ
2) Рассмотрим ∆ АСЕ ( угол АСЕ = 90° ): " В прямоугольном треугольнике медиана равна половине гипотенузы " → По теореме Пифагора: AE² = 13² + 5² = 169 + 25 = 194 AE = √194
___________________
Пусть ВС = а, AD = b, тогда
1) ∆ AOD подобен ∆ ВОС по двум углам ( ВС || AD ) → AD/BC = OD/BO = OA/CO = b/a
2) ∆ ABD подобен ∆ MBO по двум углам ( AD || MO) → AD/МО = АВ/BM = BD/BO
AD/MO = BD/BO = ( BO + OD)/BO = 1 + ( OD/BO ) = 1 + b/a = ( a + b )/a
AD/MO = ( a + b )/a → AD = b
MO = a·b/( a + b )
Аналогично через подобие треугольников получаем, что
ON = a·b/( a + b )
Значит, MN = MO + ON = 2·a·b/( a + b )
MN = MO + ON = 2·a·b/( a + b )
3 = 2·4·a/( a + 4 )
8a = 3·( a + 4 )
8a = 3a + 12
5a = 12
a = 12/5 = 2,4
Значит, ВС = 2,4
3) Рассмотрим ∆ ACD:
AE = EC, ES || AD → ES – средняя линия. Значит, ES = ( 1/2 )·AD
Рассмотрим ∆ BCD:
FS – средняя линия →
FS = ( 1/2 )·BC
EF = ES –FS = ( 1/2 )·AD – ( 1/2 )·BC = ( 1/2 )·( AD – BC )
Значит, EF = ( 1/2 )·( b – a )
EF = ( 1/2 )·( 4 – 2,4) = ( 1/2 )·1,6 = 0,8
ОТВЕТ: ВС = 2,4 ; EF = 0,8