Question

Решите ! 8-мой класс. 1) один из углов выпуклого четырехугольника равен 60 градусам, второй и третий относятся как 7: 3, а четвертый равен полусумме второго и третьего. найдите неизвестные углы четырехугольника. 2)найдите площадь квадрата диагональ которого равна: 4 см. 3)найдите стороны прямоугольника, если они относятся как 4: 7, а площадь прямоугольника равна 112см^2. 4)в выпуклом многоугольнике 77 диагоналей. найдите количество его сторон и сумму углов.

Answer 1

2)d = a√2 (из теоремы Пифагора)

где d - диагональ, а - сторона квадрата

тогда;

a√2 = 4

отсюда

а = 4/√2

S = a²

S =  (4/√2)² = 16/2 = 8 см²'

3)x/y = 4/7
x*y = 112
перемножаем эти 2 уравнения;
x*x = 4*112/7 = 64
x=8
теперь из второго находим;
y=112/x = 14

4)давайте порассуждаем. Пусть дан N-угольник, причём, ВЫПУКЛЫЙ N-угольник. Пронумеруем его вершины по k от 1 до N. 
Очевидно, что каждая сторона многоугольника связывает две соседние вершины, так ведь? Это означает, что если мы возьмём k-ую вершину, то у неё есть два ближайших соседа - это (k+1)-ая вершина и (k-1)-ая. И с этими соседями k-ая вершина связана двумя сторонами многоугольника. Пока понятно, надеюсь? 
Ну а дальше просто. Единственный выпуклый многоугольник, который не имеет диагоналей, - это треугольник, так ведь? У треугольника все вершины связаны сторонами треугольника, и никакими другими прямыми линиями мы не можем связать вершины. 
Следовательно, для подсчёта количества диагоналей в выпуклом N-угольнике надо вычесть количество треугольников (каждый из которых построен по соседним k, k+1 и k-1 вершинам) из общего количества прямых линий, которые мы можем провести от k-ой вершины до всех остальных N-1 вершин. 
Количество треугольников посчитать несложно - оно равно количеству вершин, т.е. N штук треугольников. Теперь посчитаем количество прямых линий от k-ой вершины до остальных N-1 вершин. Очевидно, что оно равно N-1 прямых линий (с учётом сторон N-угольника). Тогда для N вершин имеем 
N * ( N - 1 ) (1) 
штук прямых линий. Теперь учтём, что каждую такую линию мы посчитали дважды (когда проводили её от k-ой вершины к m-ой и снова от m-ой вершины к k-ой) и поделим выражение (1) пополам: 
N * ( N - 1 ) / 2. 
Ну вот, а теперь из этого вычтем кол-во треугольников, получим кол-во диагоналей Ld: 
Ld = N * ( N - 1 ) / 2 - N = ( N * N - N - 2 * N ) / 2 = N * ( N - 3 ) / 2. 
Для вашего случая, когда Ld = 77, получаем квадратное уравнение: 
N * N - 3 * N - 154 = 0 
N = ( 3 + sqrt ( 9 + 4 * 154 ) ) / 2 = 14

а сумма углов;

Количество диагоналей равно количеству пар вершин многоугольника минус количество сторон. Количество пар вершин равно числу сочетаний из n по 2. Получается уравнение n(n-1)/2-n=77,там дальше раскрываете и находите.